排列組合公式匯總排列組合公式匯總排列組合公式匯總

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1、排列組合公式（1）掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題?！　。?）理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題?！　≈攸c(diǎn)：兩個(gè)原理尤其是乘法原理的應(yīng)用?！　‰y點(diǎn)：不重不漏?！　≈R(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：　　1．加法原理和乘法原理　　兩個(gè)原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式，分析和解決排列與組合的應(yīng)用問(wèn)題的基本原則和依據(jù)；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個(gè)原理所要回答的共同問(wèn)題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類(lèi)辦法和需要分幾個(gè)步驟。　　例1．書(shū)架上放有

2、3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)?！　。?）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？　?。?）若從這些書(shū)中取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？　?。?）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法。　　解：（1）由于從書(shū)架上任取一本書(shū)，就可以完成這件事，故應(yīng)分類(lèi)，由于有3種書(shū)，則分為3類(lèi)然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種?！　。?）由于從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3×5×6=90（種）?！　。?）

3、由于從書(shū)架上任取不同科目的書(shū)兩本，可以有3類(lèi)情況（數(shù)語(yǔ)各1本，數(shù)英各1本，語(yǔ)英各1本）而在每一類(lèi)情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3×5+3×6+5×20/206=63（種）。例2．已知兩個(gè)集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，從A到B建立映射，問(wèn)可建立多少個(gè)不同的映射？　　分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)?！薄　∫駻中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步

4、驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5×5×5=125（種）?！　?．排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式　　排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)與證明?！　　　　　　∵B乘積的形式　　　　　階乘形式　　Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=　　Cnm=例3．求證：Anm+mAnm-1=An+1m　　證明：左邊=　　　　　　　　　　　∴等式成立?！　≡u(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘

5、的性質(zhì)：n!(n+1)=(n+1)!可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。　　例4．解方程.　　解：原方程可化為：??　　　　??　解得x=3。20/20　　評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫(xiě)在脫掉符號(hào)之前?！　?．排列與組合的應(yīng)用題　　歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問(wèn)題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問(wèn)題的內(nèi)容和情景是多種多樣的，而解決它們的方法還是有規(guī)律可

6、循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種?！　∫话惴椒ㄓ校褐苯臃ê烷g接法?！　。?）在直接法中又分為兩類(lèi)，若問(wèn)題可分為互斥各類(lèi)，據(jù)加法原理，可用分類(lèi)法；若問(wèn)題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法?！　。?）間接法一般用于當(dāng)問(wèn)題的反面簡(jiǎn)單明了，據(jù)A∪=I且A∩=的原理，采用排除的方法來(lái)獲得問(wèn)題的解決。　　特殊方法：　?。?）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置?！　。?）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列?！　。?）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用

7、“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列?！　。?）其它方法。　　例5．7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)?！　。?）甲排中間；?。?）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰；　?。?）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（5）甲，乙，丙連排；　　（6）甲，乙，丙兩兩不相鄰?！　〗猓海?）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720種不同排法?！　。?）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問(wèn)題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有·=3600種不同排

8、法。20/20　?。?）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有·=1400種不同的排法?！　。?）甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右