判斷函數(shù)單調(diào)性通法

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1、判斷函數(shù)單調(diào)性通法055350河北隆堯一中焦景會(huì)13085848802lyjjh888@126.com函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，，幾乎是高考必考內(nèi)容，如判斷或證明函數(shù)單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、利用單調(diào)性求變量取值范圍、利用單調(diào)性解不等式等常以不同的形式出現(xiàn)在高考題中。一、重點(diǎn)知識(shí)歸納1、單調(diào)函數(shù)及單調(diào)區(qū)間i)增函數(shù)：對(duì)任意，，則f(x)為[a,b]的增函數(shù)。f(x)在[a,b]上的圖像從左向右看，逐漸上升。ii)減函數(shù)：對(duì)任意,則f(x)為[a,b]的減函數(shù)。f(x)在[a,b]上的圖像從左向右看，逐漸下降。所學(xué)過的函數(shù)中

2、，在其整個(gè)定義域內(nèi)，可能只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，也可能有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以，說函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要指明函數(shù)單調(diào)性體現(xiàn)在哪個(gè)區(qū)間上。2、函數(shù)單調(diào)性的證明方法i)定義法，其步驟為三步：a.任取且；b.求差；c.判斷符號(hào)，得結(jié)論。ii)熟練掌握增減函數(shù)的意義，注意定義的等價(jià)形式：設(shè)，那么a.在[a,b]上是增函數(shù)；在[a,b]上是減函數(shù)。b.在[a,b]上是增函數(shù)；在[a,b]上是減函數(shù)。3、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷i)若函數(shù)y=f(u)在[a,b]上增(減)，u=g(x)在[c,d]上增，且當(dāng)時(shí)，,則y=f[g(x)]在[c,d]上增（減）。

3、ii)若函數(shù)y=f(u)在[a,b]上增(減)，u=g(x)在[c,d]上減，且當(dāng)時(shí)，,則y=f[g(x)]在[c,d]上減（增）。4、在理解函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：i)單調(diào)性與區(qū)間緊密相關(guān)，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可能有不同的單調(diào)性；ii)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的整體性質(zhì)，因此定義中的具有任意性，不能用特殊值替代；iii)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間不等關(guān)系可以“正逆互推”。二、典型例題講解1、函數(shù)單調(diào)性的判斷舉例例1、討論函數(shù)的單調(diào)性

4、。分析：利用定義法解析；先討論函數(shù)在上單調(diào)性。設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，，，即，故f(x)在上是減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，，故f(x)在上是增函數(shù)。同理可得，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。所以函數(shù)在和上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：定義法在判斷、證明或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)經(jīng)常用到，是最基本的方法。例1、討論函數(shù)的單調(diào)性（1）；（2）。解：（1）易知函數(shù)定義域?yàn)?。令，，則原函數(shù)y=f[g(x)]是由g(x)與f(u)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。而在時(shí)是減函數(shù)，，在時(shí)是減函數(shù)，在時(shí)是增函數(shù)。又，即，則；，得。由下表討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性↘↘↘

5、↗↗↘可見，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的討論用列表法求解，十分方便且非常有效。（2）設(shè)，其圖象如右圖，觀察圖知，函數(shù)u的遞增區(qū)間為和，-3O4xu遞減區(qū)間為和，而是減函數(shù)，故函數(shù)的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為和。評(píng)注；根據(jù)函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法討論函數(shù)單調(diào)性，是一種簡(jiǎn)潔有效的方法。2、單調(diào)性的應(yīng)用舉例例1、設(shè)是定義在[-1,1]上的函數(shù)，對(duì)于任意的,都有成立；且對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有成立。（1）比較與的大?。唬?）解不等式。分析：函數(shù)單調(diào)性是比較大小和解不等式的依據(jù)。解：由或者或者,故f(x

6、)在[-1,1]上單調(diào)遞減，所以<。（2）等價(jià)于。三、方法技巧總結(jié)1、判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：（1）定義法；（2）兩個(gè)增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；（3）互為反函數(shù)的的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（4）如果f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增(減)函數(shù)；（5）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷遵循同增異減法則。2、在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，常常先把函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。所以，掌握并熟記反比例函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短判斷過程。3、利用函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值之間的

7、大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量間的關(guān)系。四、鏈接練習(xí)1、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上具有單調(diào)性，且f(a)f(b)<0，則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上（）A.至少有一實(shí)根；B.至多有一實(shí)根；C.沒有實(shí)根；D.必有唯一的實(shí)根。2、已知在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.3、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，當(dāng)m>0時(shí)，f(x+m)

8、f(x)+f(y),f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-2)<3.5、已知函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。6、已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14，求a的值。參考答案1、D依據(jù)單調(diào)性知，只有一個(gè)自變量x使得f(x)=0。2、B設(shè)u=2-ax,是減函數(shù)。又，所以是增函數(shù)。又u