經(jīng)典諧振子與量子諧振子

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1、實(shí)用文案經(jīng)典諧振子與量子諧振子摘要：本文分別介紹了經(jīng)典諧振子與量子諧振子的運(yùn)動(dòng)，詳細(xì)分析了簡(jiǎn)諧振子在經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)方程，從運(yùn)動(dòng)方程中描述了力、位移、速度及加速度之間的關(guān)系并驗(yàn)證了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量守恒。而在量子力學(xué)中通過(guò)對(duì)諧振子能量的推導(dǎo)及其分析，清晰地看到了諧振子在宏觀世界與微觀世界的不同。關(guān)鍵字：經(jīng)典諧振子；量子諧振子；運(yùn)動(dòng)方程；能量TheClassicalHarmonicOscillatorandQuantumOscillatorAbstract:Inthispapertheclassicalharmonicoscillato

2、rquantumharmonicoscillatorwiththemovementisdescribed,adetailedanalysisofharmonicoscillatorinclassicalmechanicsthemotioncharacteristicsandequationsofmotion,describedfromtheequationsofmotionforce,displacement,speedandacceleration,andtherelationshipbetweenverifytheconservation

3、ofenergyforsimpleharmonicmotion.Inquantummechanics,harmonicoscillatorenergythroughthederivationandanalysis,clearlyseetheharmonicoscillatorinthemacroworldandthemicroscopicworldofdifference.Keywords:classicalharmonicoscillator；quantumharmonicoscillator；equationofmotion；energy

4、引言簡(jiǎn)諧振子是力學(xué)中一個(gè)十分重要的問(wèn)題,在實(shí)際運(yùn)用發(fā)面涉及到的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的大多數(shù)問(wèn)題都可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，而且在聲學(xué)、光學(xué)等許多物理問(wèn)題中都會(huì)出現(xiàn)類似諧振子運(yùn)動(dòng)方程的方程。簡(jiǎn)諧振子顯示了許多物理系統(tǒng)的共同特征。1經(jīng)典諧振子1.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及簡(jiǎn)諧振子標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案任何在相等時(shí)間間隔內(nèi)重復(fù)自身的運(yùn)動(dòng)都叫做周期運(yùn)動(dòng)，在周期運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移總可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來(lái)表示，這種周期運(yùn)動(dòng)常叫做諧運(yùn)動(dòng)，如果做周期運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在同一路線上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做振動(dòng)[1]。若一質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近來(lái)回振動(dòng)該質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能按下式改變：式中k是常數(shù)，作用在質(zhì)點(diǎn)上

5、的力為F，這樣振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)叫做簡(jiǎn)諧振子，而它的運(yùn)動(dòng)就叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[1]。一個(gè)系于倔強(qiáng)系數(shù)為k的理想彈簧上并且在光滑水平面上質(zhì)量為m的物體就是簡(jiǎn)諧振子的一個(gè)例子，如圖1所示。圖1簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程及其特點(diǎn)先將牛頓第二定律應(yīng)用到圖1的運(yùn)動(dòng)中，以代替并且將加速度寫成,則得該方程叫做簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)方程[2]。根據(jù)微積分學(xué)，我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有這種性質(zhì)，這樣就可以寫出運(yùn)動(dòng)方程的嘗試解為：標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案將代入運(yùn)動(dòng)方程得：所以，如取常數(shù)的數(shù)值使得，則實(shí)際上就是簡(jiǎn)諧振子運(yùn)動(dòng)方程的解[3]。如果在式中將時(shí)間增加一個(gè)數(shù)值，函數(shù)就變成了所以，是

6、運(yùn)動(dòng)的周期。因?yàn)椋视幸虼擞煞匠?給出的所有運(yùn)動(dòng)都有相同的運(yùn)動(dòng)周期，并且這周期僅由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)決定。振子的頻率，是單位時(shí)間完全振動(dòng)的次數(shù)，由下式給定量叫角頻率，是運(yùn)動(dòng)振幅，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率與運(yùn)動(dòng)的振幅無(wú)關(guān)，量是運(yùn)動(dòng)的相位，常數(shù)叫初相位[4]。ＥU（ｘ）ｘｘ－ｘ－ｘｘF(x)ｘ簡(jiǎn)諧振子勢(shì)能曲線隨位移的平方而改變3，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的大小與位移成正比，但方向與位移相反，振動(dòng)的兩極限位置離開平衡位置的距離是相等的，最大位移的大小叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。圖2描述了質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能及力與位移的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案圖2質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能及力與位移的關(guān)系簡(jiǎn)諧運(yùn)

7、動(dòng)的另一個(gè)明顯特征是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移，速度，加速度之間的關(guān)系：這些曲線的方程是：那么它最大的位移為,最大的速度為，而最大得加速度為。1.3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的能量守恒[5]對(duì)于包括簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在內(nèi)的諧運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有耗散力作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)的總機(jī)械能量守恒。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移由下式給出：在任何時(shí)刻，勢(shì)能A－A勢(shì)能的最大值為。在運(yùn)動(dòng)期間，勢(shì)能在零和這個(gè)最大值之間改變，如圖3所示。圖3勢(shì)能的變化曲線在任何時(shí)刻，動(dòng)能為。利用關(guān)系式與得到所以動(dòng)能具有最大值或，這與先前所說(shuō)的最大速率是一致的。在運(yùn)動(dòng)期間，動(dòng)能在零和這個(gè)最大值之間改變，總機(jī)械能為動(dòng)能與勢(shì)能之和:可見，

8、總能量是恒定的，它具有數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案。在最大位移處，動(dòng)能為零而勢(shì)能為,在平衡位置，勢(shì)能為零而動(dòng)能為。在其它位置，動(dòng)能和勢(shì)能各自貢獻(xiàn)的能量之總和為。圖3表明了這