格林函數(shù)點源傳播函數(shù)對格林函數(shù)的時間變量作偏微分得

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1、格林函數(shù)—點源傳播函數(shù)對格林函數(shù)的時間變量作偏微分,得?0?+0<Ψ

2、ψ?(xt)ψ?(xt

3、)''Ψ>,t>t'?HHHH?t?++??ψ?(xt'+Δ)ψ?(xt)''?(?ψ?(xt)''ψ?(xt'?Δ))iG(xt,xt)''=limiHHHH,t=t'??t?Δ→+02Δ??<Ψ0

4、?+(xt)''??(xt

5、)Ψ0>,t

6、T(ψ?H(xtψ?)H(xt))''

7、ΨH>+δ(t?t)'δ(x?x)'?t?t+

8、+其中利用了ψ?H(xtψ?)H(xt)'+ψ?H(xtψ?)'H(xt))=δ(x?x)'?ψ(xt),12+再利用=??ψ(xt),+∫dx''u(x?x)''ψ(xt),''ψ(xt),''ψ(xt),?t2m可以得到?G12+++?G+∫dx''u(x?x)''?t2m=δ(x?x)'δ()t?t'雙粒子格林函數(shù)自由費米子體系的格林函數(shù)0+格林函數(shù)為iG(xt,xt)''=<

9、0T(c?(xt)c?(xt))''0

10、>

11、01ik?(x?x)'?iε(t?t)'當時t>t',iG(xt,xt)''=∑ek粒子傳播函數(shù)Vk>kF01ik?(x?x)'?iε(t?t)'當時t

12、(?t)]kkkθFθθFθ1∞e?iωt利用公式θ(t)=?∫dω2πi?∞ω+i0+可以得到格林函數(shù)的動量和能量空間中的形式0θ(k?kF)θ(kF?k)G(kω)=+++ω?εk+i0ω?εk?i01∞e?iωt關于公式(t)+θ=?∫dω被積函數(shù)的奇點在ω=?i02πi?∞ω+i0+我們需要作如左面的圖中所示的ωRe()Im()ω圍線.作圍線有一個原則,無窮大半圓上積分為零.當時t>0,圍線只能如左上圖那樣作,因為此時,Im(ω)<0?i[Re(ω)+iIm(ω)]teIm(ω)?itRe

13、(ω)?t

14、Im(ω

15、)=e?iωt1∞e那么有?∫dω=2πi?∞ω+i0+1?×(?2πi)=12πi而沿下圖中的圍線積分,奇點在Re(ω)圍線以外,所以積分為零.絕熱假設格林函數(shù)為iG(xt,xt)''=<Ψ0

16、T?((xt?)+(xt))''

17、Ψ0>HψHψHH0其中ΨH是基態(tài).只有極少數(shù)的模型可以精確地解出基本態(tài).大多數(shù)情況下我們不知道它是什么樣的.不過,可以通過絕熱假設來巧妙地把它形式化地表達出來.這種形式化的表示方法是在相互作用繪景中做出的.絕熱假設是假設相互作用的哈密頓量子為以下的

18、時間形式2H?=H?+H?iF(t);?h3(?x)+2(?x)0H0=?∫dxψ?ψ2m?i133(xx?)+(x?)+(x?)(x?)(x)H=∫dx1dx2u1?2ψ1ψ2ψ2ψ12時間因子可以寫為?e?λt,t>0limF(t)=?;λ>0→0λtλ?e,t<0也就是說相互作用在負無窮大的時間時,相互作用為零,慢慢地加到真實大小,然后到時間為正無窮大時又變?yōu)榱?相互作用為零時的基態(tài),我們會做.這樣就可以把相互作用為真實大小的基態(tài)表達為相互作用為零的基態(tài)了.絕熱假設在時t→?∞,粒子之間無相

19、互作用,

20、ΨI(t→?∞,)>=

21、Φ0>以后隨著時間的消逝相互作用緩慢地增長,在時t=0,增加到實際大小,這時系統(tǒng)達到真正的基態(tài)0

22、Ψ>=U?,0(?∞

23、)Ψ(?∞)>=U?,0(?∞

24、)Φ>HI0此后,當時t→∞,再讓相互作用緩慢地趨于零,,0U?(∞

25、)0,Ψ>=U?(∞,?∞

26、)Φ>≡S?

27、Φ>H00系統(tǒng)又回到無相互作用的基態(tài),至多差一個相位因子?iLS?

28、Φ>=e

29、Φ>00這樣就有0?iL

30、Ψ>=U?(∞

31、)0,Φ>eH00+0格林函數(shù)的定義為iG(xt,xt)''=<ΨH

32、Tψ?(H(x

33、tψ?)H(xt))''

34、ΨH>相互作用繪景和海森堡繪景的聯(lián)系是

35、Ψ(t)>=U?t

36、)0,(Ψ(t)>=U?t

37、)0,(Ψ>IIHQ?(t)=U?t),0(Q?(t)U?t)0,(HIn(?i)tttiii演化算符為U,(tt0)=∑∫tdt1∫tdt2L∫tdtnT(H?I(t1)H?I(t2)LH?I(tn))n!000n=0ti=T(exp[?i∫dt1H?I(t1)])t00

38、Ψ>=U?,0(?∞

39、)Ψ(?∞)>=U?,0(?∞

40、)Φ>利用HI00?iL

41、Ψ>=U?(∞

42、