[理學(xué)]格林函數(shù)的應(yīng)用

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1、4.3格林函數(shù)的應(yīng)用由公式分表示出來(lái)。則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，可知，對(duì)于一個(gè)由曲面普拉斯方程的狄利克雷問(wèn)題的解就可以用此積源像法(鏡像法)求得。拉它的格林函數(shù)可用靜電對(duì)于某些特殊區(qū)域，只要求出它的格林函數(shù)，來(lái)說(shuō)，圍成的區(qū)域(20)(17)14.3格林函數(shù)的應(yīng)用關(guān)于的像點(diǎn)(對(duì)稱點(diǎn))所謂鏡像法，處放置適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，此時(shí)二者形成電場(chǎng)在然后在這個(gè)像點(diǎn)點(diǎn)由它所產(chǎn)生的負(fù)電位與邊界外找出點(diǎn)就是在區(qū)域(20)(17)內(nèi)的電位，處的單位正電荷所產(chǎn)生的正電位在曲面上互相抵消，就相當(dāng)于所要求的格林函數(shù)。2(20)(17)4.3.1半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題求解上半空間內(nèi)的狄利克雷問(wèn)題(23)(22)先求出格林函數(shù)為

2、此，在上半空間的點(diǎn)處放置一單位正電荷，在點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于平面處放置一單位負(fù)電荷。3(20)(17)4.3.1半空間的格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題求解上半空間內(nèi)的狄利克雷問(wèn)題(23)(22)由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在平面上因此，上半空間的格林函數(shù)為恰好為0.(24)4(20)為了求得問(wèn)題(22)(23)的解，需要計(jì)算由于在平面上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(24)5(20)為了求得問(wèn)題(22)(23)的解，需要計(jì)算由于在平面上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(24)6(20)為了求得問(wèn)題(22)(23)的解，需要計(jì)算由于在平面上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(24)7(20)為了求得問(wèn)題(22)(

3、23)的解，需要計(jì)算由于在平面上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(24)(25)將(25)代入(20)中，得到定解問(wèn)題(22)(23)的解(26)8(26)設(shè)在均勻的半空間的邊界上保持定常溫度,在圓之內(nèi)等于1，例1而在其外等于0.求在半空間內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布。解這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為如下定解問(wèn)題由公式(26)可得9應(yīng)用極坐標(biāo)：在軸的正半軸上，有是圓域，由于積分區(qū)域特別地，得當(dāng)沿軸的正半軸趨于無(wú)窮時(shí)，10補(bǔ)充4半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題(20’)(17’)求解上半平面內(nèi)的狄利克雷問(wèn)題(23’)(22’)先求出格林函數(shù)為此，在上半平面的點(diǎn)處放置一單位正電荷，在點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于邊界處放置一單位負(fù)電荷。11

4、由它們所形成的靜電場(chǎng)的電位在邊界上因此，上半平面的格林函數(shù)為恰好為0.(24’)補(bǔ)充4半平面的格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題(20’)(17’)求解上半平面內(nèi)的狄利克雷問(wèn)題(23’)(22’)12為了求得問(wèn)題(22’)(23’)的解，需要計(jì)算由于在邊界上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(20’)(24’)13為了求得問(wèn)題(22’)(23’)的解，需要計(jì)算由于在邊界上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(20’)(24’)14為了求得問(wèn)題(22’)(23’)的解，需要計(jì)算由于在邊界上的外法線方向是向，因此，軸的負(fù)(20’)(24’)15(25’)將(25’)代入(20’)中，可得半平面拉普拉斯方程(26’)

5、因此，(20’)(23’)(22’)解的積分表達(dá)式狄利克雷問(wèn)題16(20)(17)4.3.2球域的格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題求解球域上的狄利克雷問(wèn)題：(28)(27)其中是以邊界為為心，現(xiàn)在利用靜電源像法求球的格林函數(shù)。為此，在半射線為半徑的球域，上截取在球內(nèi)任取一點(diǎn)線段使(29)17(20)(17)點(diǎn)稱為點(diǎn)的反演點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)。關(guān)于球面要適當(dāng)選取電位在球面上正好抵消。則應(yīng)有滿足關(guān)系式設(shè)是球面上任一點(diǎn)，(29)為求出格林函數(shù)在點(diǎn)處放置單位正電荷，我們的值，使得這兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的在點(diǎn)處放置單位的負(fù)電荷，18(20)(17)與在點(diǎn)而夾此角有公共角，三角形相似。也就是說(shuō)我們必須在點(diǎn)電荷。處放置由于單位

6、的負(fù)的相應(yīng)兩邊按(29)式是成比例的，從而有因此這兩個(gè)由此得19(20)(17)那么，以記則(30)式變形為的夾角，為球面的球域的格林函數(shù)就是是(30)和20(20)(17)利用關(guān)系式(29)則可得為了求解原問(wèn)題(27)(28)的解，還需算出21(20)(17)在球面上，22(20)(17)在球面上，因此，由(20)得問(wèn)題(27)(28)的解的表達(dá)式為(31)23(20)(17)因此，由(20)得問(wèn)題(27)(28)的解的表達(dá)式為(31)在球坐標(biāo)系中，表達(dá)式(31)變?yōu)?32)公式(31)或(32)稱為球域上的泊松公式24(32)公式(31)或(32)稱為球域上的泊松公式其中上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo)

7、，的球坐標(biāo)，是點(diǎn)是球面夾角的余弦，是和由于所以25(32)其中設(shè)有一半徑為的均勻球，保持為例2上半球面的溫度溫度的穩(wěn)定分布。解這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為如下定解問(wèn)題求球內(nèi)下半球面的溫度保持為26(32)其中解這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為如下定解問(wèn)題利用公式(32)得27其中特別的，求溫度在球的鉛垂直徑：(直徑的上半部分)和(下半部分)上的分布。當(dāng)時(shí)，故28其中特別的，求溫度在球的鉛垂直徑：(直徑的上半部分)和(下半部分)上的分布。當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，故