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《概率統(tǒng)計》PPT課件

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1、§2.5幾種重要的連續(xù)型分布指數(shù)分布正態(tài)分布Γ分布*對數(shù)正態(tài)分布*前面我們曾經(jīng)討論的均勻分布是最簡單的常用連續(xù)型分布。在這一節(jié)里,將介紹另幾種常用連續(xù)型分布,它們有著廣泛的應(yīng)用背景。1指數(shù)分布定義:如果隨機(jī)變量X的概率密度為其中?>0,則稱X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布,X~Exp(λ).易知,其分布函數(shù)為2指數(shù)分布的分布函數(shù)推導(dǎo)當(dāng)x≤0時,當(dāng)x>0時,3指數(shù)分布的期望、方差4指數(shù)分布應(yīng)用背景指數(shù)分布經(jīng)常用來作各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間,某些消耗性產(chǎn)品(電子元件等)的壽命,產(chǎn)品首次發(fā)生故障(需要維修)的時間都常被假定服從指數(shù)分布。某產(chǎn)品的壽命T服從參數(shù)為λ

2、=0.002的指數(shù)分布,則該產(chǎn)品的平均壽命E(T)=l-1=(0.002)-1=500對指數(shù)分布,任何實(shí)數(shù)a,b(0≤as+t

3、X>s)=P(X>t)的充分必要條件是對

4、任何的s,t≥0,有無后效性是指數(shù)分布的特征.7例題與解答例2.顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布,X的計時單位為分鐘.若等待時間超過10分鐘,則他就離開.設(shè)他一個月內(nèi)要來銀行5次,以Y表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求Y分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率P(Y≥1).解:由題意不難看出Y~B(5,p)而其中的概率p=P(X>10),現(xiàn)X的概率密度函數(shù)為因此,Y的分布律為于是P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e-2)5≈0.5167.8例題與解答例3.某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T,設(shè)[0,t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)

5、為?t的泊松分布,求T的概率密度。解:當(dāng)t≤0時,當(dāng)t>0時,=1-P{在t時刻之前無汽車過橋}于是9正態(tài)分布正態(tài)分布也叫高斯分布,正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛,在理論上研究最多的分布之一,故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。例如測量的誤差;人的生理尺寸:身高、體重;一個班的考試成績;普通人的年收入;工廠產(chǎn)品的尺寸:直徑、長度、寬度、高度;一個地區(qū)的降雨量等等都近似服從正態(tài)分布。一般說來,若某一數(shù)量指標(biāo)受到大量微小的,獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響,則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。10正態(tài)分布定義:如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中s,m為常數(shù),并且s>0

6、,則稱X服從正態(tài)分布,簡記作X~N(m,s2)。特別地,當(dāng)m=0,s=1時,稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度記為j(x),這時X~N(0,1)。11泊松積分公式12決定了圖形的中心位置,決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)13正態(tài)分布的兩個特性(1)單峰對稱密度曲線關(guān)于直線x=μ對稱f(?)=maxf(x)=(2)σ的大小直接影響概率的分布σ越大,曲線越平坦,σ越小,曲線越陡峻。14標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖xj(x)01-115標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)特性(1)j(x)有各階導(dǎo)數(shù)(2)j(-x)=j(x),偶函數(shù)(3)在(-?,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,+?)嚴(yán)格下降.在x=

7、0處達(dá)到最大值:j(0)=(2?)-1/2?0.3989.(4)在x=?1處有兩個拐點(diǎn);(5)x軸是j(x)的水平漸近線:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表示為:16因此對同一長度的區(qū)間,x0y-11若此區(qū)間越靠近點(diǎn)x=0,則其即X在該區(qū)間上取值的概率所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布規(guī)律是“中間多,兩頭少”.越大,對應(yīng)的曲邊梯形的面積越大,17正態(tài)分布的期望若隨機(jī)變量X~N(?,?2),則EX=?。證明:18正態(tài)分布的方差若隨機(jī)變量X~N(?,?2),則DX=?2。證明:19Φ(-x)當(dāng)時,x0y(1)表中x的取值范圍[0,4.49],(2)當(dāng)時,則有Φ(x)Φ(x)x0y當(dāng)x≤-4.5時,標(biāo)準(zhǔn)

8、正態(tài)分布函數(shù)表20?(x)的計算(1)x?0時,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則(1)P(X?a)=?(a);(2)P(X>a)=1??(a);(3)P(a

9、X

10、

11、X

12、?1.96),P(-1

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