《行列式按行列展開》PPT課件

《《行列式按行列展開》PPT課件》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、五.行列式按行（列）展開對于三階行列式，容易驗證：可見一個三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個二階行列式的計算。問題：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n－1階行列式來計算？1定義1：在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式。記為稱為元素的代數(shù)余子式。例如：2注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式。3行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即定理1：證明：（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。(1)假定行列式D的第一行除外都是0。4由行列式定義，D中僅含下面形式的

2、項其中恰是的一般項。所以，5(2)設D的第i行除了外都是0。把D轉(zhuǎn)化為(1)的情形把D的第行依次與第行，第行，······，第2行，第1行交換；再將第列依次與第列，第列，······，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過次交換行與交換列的步驟。6由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號，得，7(3)一般情形8例如，行列式按第一行展開，得證畢。9行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即定理2：證明：由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素10則，第i行右

3、端的行列式含有兩個相同的行，值為0。11綜上，得公式在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個n階行列式換成n個（n－1）階行列式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。12利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。13例1:計算行列式14例2:證明范德蒙德(Vandermonde)行列式1

4、5證明：用數(shù)學歸納法(1)當n=2時,結(jié)論成立。(2)設n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。16n-1階范德蒙德行列式17證畢。練習：用降階法（按行按列展開）計算行列式的值。=5718五（加）.利用性質(zhì)及展開定理計算行列式的例題：例1：按第二列展開按第二行展開19例2：2021例3：箭形行列式目標：把第一列化為成三角形行列式22例4：箭形行列式2324例5：（可以化為箭形行列式）2526思考題:求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解:第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成27六.Cramer法則引入行列式概念時，求解二、三元線性方程組，當系數(shù)行列式時，方程組

5、有唯一解，含有n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組，與二、三元線性方程組類似，它的解也可以用n階行列式表示。Cramer法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，28即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即則線性方程組(1)有唯一解，29證明：再把方程依次相加，得30由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當時,方程組(2)有唯一的一個解上式中除了的系數(shù)等于D,其余的系數(shù)均等于0，而等式右端為由于方程組(2)與方程組(1)等價,所以也是方程組的(1)解。31例1：用Cramer法則解線性方程組。解：3233注:1.Cramer法則僅適用于

6、方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關系。但用此法則求解線性方程組計算量大，不可取。3.撇開求解公式Cramer法則可敘述為下面定理：定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.34線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組。此時稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念:35齊次線性方程組易知，一定是(2)的解，稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。36有非零解.系數(shù)行列式定理3：定理4：如果齊次線性方程

7、組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解。37例2：問取何值時，齊次線性方程組有非零解？解：齊次方程組有非零解，則所以或時齊次方程組有非零解。38對于n元齊次線性方程組的Cramer法則的推論，常被用來解決解析幾何的問題。例3:求空間的四個平面相交于一點的條件。解：四個平面相交于一點，即線性方程組有唯一解。39從另一角度看，形式上可以把看作是四元線性方程組的一組非零解。因為齊次線性方程組有非零解的充要條件是所以，四平面相交于一點的條件為40例4：已知三次曲線在四個點處的值為試求系數(shù)解：41若用Cramer法則

8、求此方程組的解，有（考慮范德蒙德行列式