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《第3節(jié)-行列式按行列展開ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)行列式按行列展開可見一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算。1、行列式按某一行（列）展開1問題：一個n階行列式是否可以轉化為若干個n－1階行列式來計算？在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如定義2注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式。3三階行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即第一張幻燈片D=或簡寫為4引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子
2、式的乘積，即．例如5證當位于第一行第一列時,即有又從而在證一般情形,此時6得7得89中的余子式10故得于是有11定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證1213推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證14同理相同該行列式中有兩行對應元素相等.15關于代數(shù)余子式的重要性質#25.幻燈片2516綜上，得公式在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個n階行列式換成n個（n－1）階行列式的計算并不減少計算量，只是在行
3、列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。17利用行列式按行按列展開定理，并結合行列式性質，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。(降階法）按行（列）展開法（降階法）先利用行列式的性質將某行（列）盡可能較多地消成零，（最好只有一個非零元素），再按該行（列）展開18例1注意：1、盡量選擇1或-1所在的行或列，2、盡量選擇0多的行列。1920按第二
4、列展開按第二行展開思考練習21例2計算行列式解2223用降階法（按行按列展開）計算行列式的值。=57思考練習24例3已知4階行列式解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展開定理，簡化計算.它是D中第2列元素與第4列元素的代數(shù)余子式的乘積之和，故有25例4計算n階行列式解解26例5計算行列式Hessenberg型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式性質化簡并降階。27解按第一列展開28遞推法遞推公式29練習Hessenberg型行列式將第1，2，…，n-1列分別加到第n列3031例6:證明范德蒙德(Van
5、dermonde)行列式32證明：用數(shù)學歸納法(1)當n=2時,結論成立。(2)設n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。33n-1階范德蒙德行列式34證畢。35（考慮范德蒙德行列式）362、拉普拉斯定理定義：在n階行列式D中，任意選取k行k列（k≤n），位于這些行列交叉點上的元素，按照原來的排列順序組成一個k階行列式，稱為行列式D的一個k階子式，記為N。在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的排列順序所組成一個n-k階行列式，稱為k階子式N的余子式，記作M。若k階子式在行列式D中的行標為為N的代數(shù)余子式。
6、列標為，則稱37若選取第1行、第3行、第1列、第4列，就確定一個二階子式。二階子式N的余子式為二階子式N的代數(shù)余子式為38定理4在n階行列式D中任取k行（1≤k≤n），由這k行元素組成的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D的值，即有在拉普拉斯公式中，令k=1即為行列式按一行展開的公式。39例7計算行列式解40作業(yè)：P2910（3）8（4）41思考題:求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解:第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成42
