5、解競(jìng)賽題的思想和方法

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1、解競(jìng)賽題的思想和方法數(shù)學(xué)競(jìng)賽也就是解題的競(jìng)賽，只有通過(guò)問(wèn)題才能學(xué)會(huì)解題。要提高解題能力，必須反復(fù)練習(xí),在解各類(lèi)題中，善于總結(jié)，不僅要尋找各種不同的解法，更要找出最佳的方法，應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)的思想與數(shù)學(xué)的美，不斷提高我們的鑒賞能力，注意簡(jiǎn)捷明快，一針見(jiàn)血。本講中，我們選編了國(guó)內(nèi)外一些值得欣賞的競(jìng)賽題，有些題多給幾種解法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)去進(jìn)行探索與嘗試，以展現(xiàn)思維的過(guò)程，并且以資比較，盡力尋求完美的解法。希望參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生們多掌握些解題的思考方法，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)深度就會(huì)有所提高，隨之而來(lái)，解題能力的增

2、強(qiáng)就會(huì)有所突破，也就可能在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中大顯身手。一、典型例題解析例嶗已知x,y,z>0且vy2-Fyz+z2=3,②z2+zx+%2=4,求兀+y+z的值.分析常見(jiàn)的思路是求三元二次方程組的正實(shí)數(shù)解，常規(guī)方法是消元、降次，嘗試會(huì)遇到困難，關(guān)鍵是如何產(chǎn)生一次方程，聯(lián)想到方程左邊式子的特點(diǎn)，可通過(guò)因式分解來(lái)實(shí)現(xiàn).解法嶗由①得，兀3_y3=(X—y)(%2+xy+y2)=^―y由②得y3—z3=3(y—z).由③得z3-x3=4(z-x).以上三式相加，得z=3x—2y,代入②，得與①聯(lián)立，解得2x(x-

3、2y)=0a但x>0,故得x=2y,從而可解得解法2令s=%+y+z.②■①并因式分解，得/.x+y+z=(z-x)(x+y+z)=1，213二z—兀=—,同理得x_y=—，z_y=—■sss!1!?H?O,并配方得(兀+y+zF+

4、[(x-y)2+(y—z)2+(z-x)2]=8血七2lz194、。則有s+”(p+p+p)=8,2sss即/-8?+7=0-解得s=±1,s=±a/7■又由①知$=x+y+z>1,「.$=J7?可解得兀=上述兩種解法是純數(shù)的，若用數(shù)形結(jié)合的思想，有解法3由余弦定理，得%

5、2+y2=%2+y1-2xycosl20°=12-y2+yz+z2=y2+z2-2yzcosl20°=(V3)2.z2+zx+x2=z2+x2—2zxcosl20°=22?使我們想到構(gòu)造三角形?作RtAABC.使43=1,30=語(yǔ),4(7=2?在三角形內(nèi)取點(diǎn)P,使ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°-由余弦定理知，PA=x,PB=y,PC=z是原方程組的一組解.將AAPC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°,得AA'PC,易證AJP,P,B共線，則x+y+z=PA+PB+PC=ArBu在RtMBC中，有A'B=jAfC

6、2+BC2=y/AC2+BC2=V7.說(shuō)明數(shù)學(xué)中的同一個(gè)數(shù)學(xué)形式表示式可以作不同的語(yǔ)義解釋?zhuān)环N數(shù)學(xué)語(yǔ)義的內(nèi)容可以用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式來(lái)表示■數(shù)形結(jié)合的思想方法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行代數(shù)釋義與幾何釋義的互補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”解釋為“形”的語(yǔ)義轉(zhuǎn)換，將“形”解釋為“數(shù)”，利用“數(shù)”的知識(shí)解決“形”的問(wèn)題；將“數(shù)”解釋為“形”，利用“形”的知識(shí)解決“數(shù)”的問(wèn)題.本例的解法3中，我們把方程組轉(zhuǎn)化成直角三角形后，原來(lái)隱含的條件逐漸顯示出來(lái)，猶如居高觀景，對(duì)問(wèn)題的解決有更多的方法.解法/借助于三角形面積關(guān)系得

7、：S/XAPB+S'BPC+Saapc=SaabC'nxy+yz+zx=2.由已知三式相加，得2(/++z?)+(xy+yz+zx)=8a/.x2+y2+z2=3-又(兀+y+z)2=x2++z2+2(xy+yz+zx)=3+2x2=7,:.x+y+z=J7■解法⑺(構(gòu)造復(fù)數(shù)法)在平面上，設(shè)A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為勺=2；Zb=0,Zc=V3,取點(diǎn)戶使ZAPB=ZBPC=ACPA=120°.記q=cos120。+zsin120°=--+^z?22有兀+y+z=PA+PB+PC=zA—Zp+

8、zB—Zp+zc—Zp=1(z^—Zp)co+ZB—Zp+{zc-zp'co1I=

9、(zA-zp)^)+(zB-Zp)+(zc-zp)^2IQ同向共線》2=l(zA^+zB+zc^))1說(shuō)明本題還可以建立直角坐標(biāo)系，用解析法，又可以利用圖形關(guān)系，應(yīng)用向量法等.例2求函數(shù)的最大值?分析和解函數(shù)心的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無(wú)法用常規(guī)方法解，扌巴問(wèn)題由抽象向具體轉(zhuǎn)化，以使其中數(shù)量關(guān)系更容易把握：由f>U%根式我們會(huì)聯(lián)想到距離，問(wèn)題的關(guān)鍵是兩個(gè)根式內(nèi)的被開(kāi)方式能否化成平方和的形式，通過(guò)變形得/（%）=丿（兀2

10、_2）2+（兀_3）2-7（X2-1）2+X2問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：求點(diǎn)P（x,F）到點(diǎn)A（3,2）與點(diǎn)進(jìn)一步將其直觀具體化（如圖），由A,B的位置知直線必交拋物線尸F(xiàn)于第二象限的一點(diǎn)C.由三角形兩邊之差小于第三邊知，P位于C時(shí)，/(勸才能取得最大值，且最大值就是

11、AB

12、,故/(QmoxWAB

13、=VW.說(shuō)明上述分析過(guò)程的關(guān)鍵是將問(wèn)題通過(guò)幾何直觀，轉(zhuǎn)化為具體的形，“形”使我們把握住了例2圖2/⑴的變化情況.類(lèi)似地，可考慮下面的問(wèn)題：若“嚴(yán)嶼，求注勺最3—cos0大