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《量子力學導論Chap9-3new》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1、兩個角動量的對易式獨自的對易式兩個角動量之和及對易式2、耦合表象和非耦合表象非耦合表象耦合表象3、Clebsch-Gordan系數(shù)4、計算CG系數(shù)的一般原則§9.3兩個角動量的耦合與Clebsch-Gordan系數(shù)1、兩個角動量的對易式各角動量獨自的對易式和相互對易式假設是兩個粒子,角動量分別為j1和j2j1和j2對各自態(tài)矢運算,兩個自由度,相互獨立2)兩個角動量之和及對易式兩個角動量之和和的對易式2、耦合表象和非耦合表象1)非耦合表象對于兩粒子體系,任何與角動量有關(guān)的態(tài)就可用態(tài)進行展開兩粒子體系的力學量完全集兩粒子體系對
2、應共同本征態(tài)將該態(tài)視為基矢,這種表象為非耦合表象給定j1和j2時,它們張開成(2j1+1)(2j2+1)維子空間。2)耦合表象由于所以在給定的j1和j2的子空間中共同本征態(tài)(基矢)以此為基矢的表象為耦合表象各力學量的本征值3、Clebsch-Gordan系數(shù)非耦合表象與耦合表象的關(guān)系簡記為將耦合表象基矢用非耦合表象基矢展開展開系數(shù)就是Clebsch-Gordan(CG)系數(shù)也就是耦合表象和非耦合表象之間的幺正變換矩陣元2)CG系數(shù)的計算a)求出m1和m2的關(guān)系用jz=j1z+j2z左右算符對
3、jm>展開式左右項分別進行作用,即
4、得顯然,不全為零,這樣必然要求:可見,m1和m2兩個只有一個是獨立的,改寫展開式為可見,只有當m=m1+m2時,系數(shù)不全為零b)根據(jù)
5、jm>和
6、j1j2m1m2>的正交歸一性定出系數(shù)任何一個波函數(shù)都有一個相位不確定性,基矢波函數(shù)也不例外。如果合適選取相位,可以使CG系數(shù)都為實數(shù)。根據(jù)
7、jm>的正交歸一性當m?=m利用CG系數(shù)都為實數(shù),
8、jm>的逆展開式,即用展開實數(shù)根據(jù)
9、j1j2m1m2>的正交歸一性,當m?2=m23)j的取值問題?三角形法則給定j1和j2,試問j取哪些值?a)m1和m2以及m的取值b)j的取值jmin可從子
10、空間維度分析得出m(=m1+m2)可能取值如下可見,j依次遞減1,但還要確保jmin?0對于給定的j1和j2,在非耦合表象中子空間的維度就是(2j1+1)(2j2+1)。變換到耦合表象,子空間維度不會改變,也應是(2j1+1)(2j2+1)在耦合表象中,對于一個j,m有2j+1個取值。j改變,m也變,m所有的取值就是維度由于維度不變,可以有下列式子成立討論:(1)如果j1?j2,則jmin=j1-j2;(2)如果j2?j1,則jmin=j2-j1。總之,jmin=
11、j1-j2
12、j的取值為概括為三角形法則兩邊之和大于等于第三邊j
13、max=j1+j2兩邊之差小于等于第三邊jmin=
14、j1-j2
15、jj1j24、計算CG系數(shù)的一般原則j相同,m不同的態(tài)可以通過角動量升降算符聯(lián)系起來m相同,j不同的態(tài)的正交性下面計算CG系數(shù)j=jmax=j1+j2情形m=j1+j2的波函數(shù)只能來自m1=j1和m2=j2,即習慣上取?=0,即CG系數(shù)再考慮m=j1+j2-1的波函數(shù)用j-=j1-+j2-對上式作用,利用升降算符公式,得
16、
17、jm>注解即即重復這樣的過程,就可求出j=j1+j2的所有波函數(shù)b)j=jmax-1=j1+j2-1情形根據(jù)正交性和適當相位
18、規(guī)定,可得m=j1+j2-1的波函數(shù)這種相位規(guī)定就是Condon-Shortley相位約定,即這樣,便可用j-=j1-+j2-對m=j1+j2-1的波函數(shù)兩邊逐次運算,便可得出j=j1+j2-1的所有波函數(shù)和相應的系數(shù)。c)再將j逐次減一,循環(huán)運算,可得到所有的CG系數(shù)