量子力學(xué)導(dǎo)論Chap

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1、§10.3變分法1、薛定諤方程與變分原理1）薛定諤方程：給定體系哈密頓量H，體系能量本征值可以通過薛定諤方程加以求解，當(dāng)然對波函數(shù)有邊界條件的限制波函數(shù)還要滿足正交歸一化2）變分原理從變分原理外加歸一化條件可導(dǎo)出薛定諤方程變分原理：設(shè)體系能量平均值為則，體系能量本征值和本征函數(shù)在波函數(shù)在歸一化條件約束下，讓取極值而得到，即?為拉格朗日(Lagrange)乘子，待定由于波函數(shù)是復(fù)函數(shù)，??和??*取任意值。所以這就是薛定諤方程。反過來，也可證明滿足薛定諤方程的可歸一化波函數(shù)一定可使能量取極值。這就證明了薛定諤方程

2、與變分原理的等價性。變分原理的重要性在于：根據(jù)具體物理問題，先對波函數(shù)作某種限制，然后給出該試探波函數(shù)形式下的能量平均值，并讓取極值，從而定出所取形式下的最佳波函數(shù)，作為嚴(yán)格解的一種近似。3）變分原理給出體系基態(tài)能量的一個上限變分原理求出的不小于體系基態(tài)能量的嚴(yán)格值：設(shè)含H在內(nèi)的一組守恒量完全集的共同本征態(tài)為?0，?1，?2，?，對應(yīng)的本征能量為E0，E1，E2，?用它展開試探波函數(shù)?2、里茲(Ritz)變分法方法設(shè)給出了試探波函數(shù)的具體形式，其中含有待定的變分參數(shù)，設(shè)基態(tài)試探波函數(shù)取為c1，c2，

3、?待定。變化參數(shù)，使取極值，?由于?c1，?c2，?可取任意值，所以要求從這些方程可以解出參數(shù)ci，再帶入試探波函數(shù)和能量平均值公式，得出基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能量2）例題類氦離子的基態(tài)波函數(shù)試探波函數(shù)零級近似波函數(shù)取為兩個類氫原子波函數(shù)的乘積但考慮屏蔽效應(yīng)后，對它要進行修正其中，?=Z-?，?=Z-?是描述屏蔽效應(yīng)強弱的參數(shù)（0

4、作某些假定，然后用變分法原理求出相應(yīng)的能量本征方程，這個方程也許比原本的薛定諤方程求解容易一些。哈特利方法適合多電子原子系統(tǒng)哈特利方法實質(zhì)：在原子中，電子受到原子及其他電子的作用，可近似地用一個平均場來替代(平均場近似，或獨立粒子模型)2）原子基態(tài)波函數(shù)是各個單電子波函數(shù)的乘積(沒有計及交換對稱性)滿足3）基態(tài)能量能量平均值歸一化條件求極值及其共軛方程，為哈特利方程它是單電子波函數(shù)滿足的方程方程左邊第二項表示其余電子對第i個電子的庫侖排斥勢是個非線性積分-微分方程，只能用迭代方法逐步近似求解，最后自洽。