量子力學導(dǎo)論Chap6-3new

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1、1、勢場2、徑向方程、邊界條件和解相對運動的徑向方程為:§6.4三維各向同性諧振子采用自然單位,令兩個孤立奇點:r=0和?。(1)在r=0的領(lǐng)域,解的漸近行為:Rl(r)~rl(2)在r??的領(lǐng)域,徑向方程近似為:其解為:Rl(r)=exp(r2/2)或exp(-r2/2),前者不符合物理要求,舍去。在r?0,只能取Rl(r)~exp(-r2/2)因此,徑向方程的解可以寫為代入徑向方程后,得到關(guān)于u(r)的二階導(dǎo)數(shù)方程再令?=r2,得關(guān)于u(?)的合流超幾何方程,其中合流超幾何方程的解為合流超幾何函數(shù):但當???時,F(xiàn)(?,?,?)~e?將變?yōu)闊o窮大,不

2、滿足束縛態(tài)邊界條件要求徑向波函數(shù)在無窮遠處取有限值。因此,F(xiàn)(?,?,?)必須中斷為多項式,要求?=0或負整數(shù),導(dǎo)出能量本征值En。最終,再令N=2nr+l,得到能量本征值En諧振子能量自然單位對應(yīng)的體系徑向波函數(shù):諧振子特征長度自然單位nr其實是徑向波函數(shù)的節(jié)點數(shù),不包括(r=0和?)討論:1、能級與簡并度:能級分布(出發(fā)點EN=(N+3/2)??,N=2nr+l=0,1,2…)76543210N17/2363p,2f,1h,0j15/2283s,2d,1g,0i13/2212p,1f,0h11/2152s,1d,0g9/2101p,0f7/261s,

3、0d5/230p3/210sEN(??)fNnrl簡并度:與一維諧振子一樣,三維諧振子的能級分布也是均勻的,間隔為??。主量子數(shù)N給定,能量本征值EN就給定。但N=2nr+l,于是,l=N-2nr=N,N-2,N-4,…,1(奇數(shù)N)或者l=N-2nr=N,N-2,N-4,…,0(偶數(shù)N)對于給定的EN,簡并度(以N為奇數(shù)為例當N為偶數(shù)時,fN的表達式相同。三維各向同性諧振子也是一種高度簡并的體系。2、直角坐標系中求解由于,三維各向同性諧振子可以分解成3個彼此獨立的一維線性諧振子。體系的哈密頓量可以分解為三個方向的分量之和,即H=Hx+Hy+Hz體系波函

4、數(shù)分量變量求解相應(yīng)本征能量值為能級簡并度fN:由于N=nx+ny+nz,先讓nx作取值之選擇nx=0,1,2,…,N-1,N則,ny+nz=N,N-1,N-2,…,1,0所以,(ny,nz)的可能N+1,N,N-1,…,2,1組合數(shù)目最終,(nx,ny,nz)的組合數(shù)目,即能級簡并度

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