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1、§5線性變換的不變子空間教學(xué)目的：使學(xué)生了解不變子空間的概念及其與線性變換矩陣化簡的聯(lián)系.教學(xué)重點與難點：不變子空間與線性變換矩陣的化簡之間的聯(lián)系.線性變換A的特征子空間中的任意一個向量在A作用下的象都是原向量的倍數(shù),從而仍然在這個子空間中.受此啟發(fā),我們引入不變子空間的概念.定義5.1設(shè)A是數(shù)域K上的線性空間V的線性變換,W是V的一個子空間.如果α∈WW?∈A(α)則稱W為線性變換A的不變子空間,簡稱A子空間.例5.1全空間V和零子空間{0}對于每個線性變換A來說都是不變子空間.例5.2線性變換A的象ImA與核KerA都是A的不變子空間.例5.3線性變換A的屬于特征值λ的特征子空
2、間0V是A子空間.λ0例5.4兩個A子空間WW,的交WW12∩與和12WW+仍然是A子空間.12設(shè)W是線性變換A的一個不變子空間.由于W中的向量在A下的象仍在W中,故可以只在W中考慮A的作用,即把A看成是W的一個線性變換,稱之為A在不變子空間W上的限制變換,記為A
3、.W現(xiàn)在來討論不變子空間與線性變換的矩陣化簡之間的聯(lián)系.設(shè)W是線性變換A的一個不變子空間.取W的一個基η,,?η,再把它擴(kuò)充為整個空間V的一個基1rη11,,??ηηrr,+,,ηn(5.1)由于A(η1),?,A(ηr)∈W,故它們可由η1,,?ηr線性表示,所以A關(guān)于基(5.1)的矩陣有如下形狀??aa??aa111
4、rr1,+11n??@@@@????aa??aa??AArr1,rrr+1rn13??=??00??aa0A??rr++1,1rn+1,??2??@@@@????00??aa??nr,1+nn命題5.1設(shè)A是n維線性空間V的一個線性變換.A關(guān)于某個基的矩陣是分塊對角陣的充分必要條件是V可以分解成一些A子空間的直和.這個命題由同學(xué)們自己證明.
