線性系統(tǒng)的核空間、象空間、不變子空間的直觀詮釋

《線性系統(tǒng)的核空間、象空間、不變子空間的直觀詮釋》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、線性系統(tǒng)的核空間、象空間、不變子空間的直觀詮釋第25卷第6期2010年12月電力J()URNALOFELECTRICPOWERVoI.25NO.6Dec.2O1O?數(shù)學(xué)分析?文章編號:10056548(2010)06—0496—04線性系統(tǒng)的核空問,象空間,不變子空間的直觀詮釋韓肖寧,董欣,馮帆.(1.山西大學(xué)工程學(xué)院,太原030013;2.太原理工大學(xué),太原030024)摘要:"線性系統(tǒng)的幾何理論"是將線性系統(tǒng)的動態(tài)分析轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中相應(yīng)的幾何問題.這種幾何方法的特點(diǎn)是簡潔明了,避免了狀態(tài)空間中大量繁雜的矩陣推演計(jì)算.擬從核

2、空間,象空間,不變子空間入手,給予它以直觀的詮釋.目前,幾何理論已廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)分析與綜合中,特別是Robust調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)有關(guān)定理證明,自始至終都使用了核空間,象空間的概念與計(jì)算方法.關(guān)鍵詞:線性系統(tǒng)幾何理論;核空間;象空間;不變子空間中圖分類號:()231.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A"線性系統(tǒng)的幾何理論"是采用幾何語言對線性系統(tǒng)進(jìn)行描述分析與綜合.使用了核空間,象空間,不變子空間等概念.在Robust調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)及其引理證明中,都使用了"線性幾何理論"的基本概念和運(yùn)算方法,而且立論嚴(yán)謹(jǐn),簡潔清晰.但是對于工程背景的學(xué)習(xí)者和研究者來說,會感

3、到比較抽象,因而需要具備一定的相應(yīng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ).為此,我們希望通過本文能起到學(xué)習(xí)"幾何理論"基本概念的導(dǎo)引作用.1子空間子空間的交直和1.1子空間的定義設(shè)W是7"/維線性空間的一個非空子集,即w(==,若w滿足下面條件:(1)對任一向量xEW,以及任意實(shí)數(shù)"ER,恒有a.x∈W;(2)對任意兩個向量X,X.EW,恒有X+X.∈W;則稱W為的一個子空間.以上兩條說明關(guān)于中定義的數(shù)乘運(yùn)算和加法運(yùn)算是封閉的.子空間又可如下定義:若中子集w關(guān)于數(shù)乘,加法運(yùn)算是封閉的(即w關(guān)于數(shù)乘,加法自成一個線性空間),則稱w為的子空間.不難看出,條件(1

4、),(2)等價(jià)于如下條件.(3)1,X2∈W,口l,Ⅱ2ER,恒有:n1X1+a2x2EW.因此為了驗(yàn)證是否是子空間,只需驗(yàn)證條件(1),(2)或條件(3)即可.現(xiàn)在考慮一般的情形,設(shè)a,a…a,EV",考慮線性組合:a一口1a1+&2a2+…+&af'aER,i=1,2,…,Z.(1)將所有形式如式(1)的線性組合所構(gòu)成的向量集合記為(==.容易驗(yàn)證是一個子空間,記為:V一span{a1,a2,…,af).(2)稱是由a,a…a所組成的子空間.向量組經(jīng)初等變換后,不改變其所張成的子空間.如Ⅱ1,(f.…(f是n

5、,n.…n的極大線性無關(guān)組,則它們所形成的子空間相同,且維數(shù)為川,即這子空間的維數(shù)為極大線性無關(guān)組所包含的向量的個數(shù).因此,可利用向量初等變換,將式(2)化為最簡單形式.今后,求一個子空間也即求形如(2)的最簡單形式.1.2子空間的交設(shè),(==是兩個子空間,將既屬.又屬的所有向量構(gòu)成的集合記為稱為與:的交,記為:V12一V1nV2.收稿日期:2O10—1019作者簡介:韓肖寧(1955一),女,山西太原人,教授,主要從事電路理論的教學(xué)和研究工作,(E—rllail)hxn55@sina.com第6期韓肖寧等:線性系統(tǒng)的核空間,象

6、空間,不變子空間的直觀詮釋497容易證明.也是子空問.若,已知,由下例給出交空問V.的求法.1.3直和設(shè)V,V.是中兩個子空間,設(shè),.分別為,V中任意一個向量.那么,由形如一a.+.的所有向量構(gòu)成的集合記為V+.一V+V:,容易驗(yàn)證它是一個子空間,稱它為V,.的和空間.當(dāng)nV:一0(即交為零空問),此時與V的和稱為直和,記為:V1一一V1①V2,如V1一span{口1,口2,…,口},Vz—span{,z,…,盧},根據(jù)定義可知:10V:一span{l,2,…,口,1,2,…,}.,口z,…,口,盧,,…,是∈王):的一組基底,

7、且空間的維數(shù)滿足如下關(guān)系:dim(V10V2)一dim(V)+dim(V!)一z+P.反之,若:dim(l+V2)一ctim(V1)+dim(V!).則V與,,.是直和.2線性映射象空間與核空間不變子空間2.1線性映射與矩陣設(shè)數(shù)域P上的兩個線性空間V與分別為維和維,考慮到V到V的一個對應(yīng):V—,如果滿足下列條件:(1)對任意一個Y∈V,有唯一的(Y)∈V與之對J立;(2)對任意Y,Y2∈V以及口1,"2∈R,恒有(以1Y1+"2Y2)一Ⅱ1盯(Y1)+n2盯(Y2).則稱是V到的一個線性映射.設(shè)是V到V的一個線性映射,Y∈V,則

8、稱()∈為Y的象,而稱Y為—(Y)的原象.如果()一0,必有Y一0,則稱為一一映射.若d為一一映射,那么當(dāng)Y≠Y時.則(Y)≠(Yz).如果對任意∈V,恒存在Y∈V,使得一(y),則稱為在上映射.若為一一映射又是在上映射,則稱為一一在上映射,此時與V的維數(shù)必然相