資源描述：
《復(fù)件 不變子空間的性質(zhì)與構(gòu)造》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、1緒論1.1引言空間中的任何元素經(jīng)過(guò)映射映射后，新的元素仍在這個(gè)空間里，這個(gè)空間叫做這個(gè)映射下的不變空間.不變自空間是原空間的一個(gè)子集，對(duì)于原空間運(yùn)算也構(gòu)成空間且封閉.其作用是可以在子空間去考慮原空間的代數(shù)性質(zhì)，而不必回到原空間，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化.這也是本文的主要目的.贊同全文總共分為三部分.第一部分為緒論部分為全文作介紹，方便讀者了解本文的中心思想.第二部分主要介紹基本概念，為下面主體部分作鋪墊.第三部分為全文的主體部分，篇幅較長(zhǎng)，突出介紹文章的結(jié)論及應(yīng)用.主要內(nèi)容包括：1.不變子空間基本概念-定義
2、與性質(zhì)；2.不變子空間的結(jié)論-定理及推論；3.不變子空間的一些探討-不變子空間的矩陣計(jì)算和不變子空間的應(yīng)用等.2基本概念2.1定義定義1[1]線(xiàn)性空間的一個(gè)變換稱(chēng)為線(xiàn)性變換,如果對(duì)于中任意的元素和數(shù)域F中任意數(shù)，都有定義2[1]設(shè)是數(shù)域F上線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換,是的子空間.如果中的向量在下的像仍然在中,換句話(huà)說(shuō),對(duì)于中任意一個(gè)向量,有我們就稱(chēng)是的不變子空間,簡(jiǎn)稱(chēng)子空間.2.2下面介紹幾種性質(zhì)：性質(zhì)1[2]設(shè)，，都是的不變子空間，則都是的不變子空間.證明設(shè)，則存在,使得.所以,故而為的不變子空間.同理可
3、證為的不變子空間.性質(zhì)2[2]設(shè)，若為的不變子空間，則也是的不變子空間，其中是數(shù)域上的多項(xiàng)式.證明由于()是數(shù)域上的多項(xiàng)式，不妨設(shè)，所以.則有，故依次可知，所以為的不變子空間.性質(zhì)3[3]設(shè)，若可逆且為的不變子空間，則也為的不變子空間.證明由于為的不變子空間,，有.又因?yàn)榭赡?，故，有，所以，于是，也是的不變子空間.性質(zhì)4[3]設(shè)是線(xiàn)性變換，的不變子空間，則在，下也不變.證明，從而，故在，下均不變.性質(zhì)5[4]設(shè)是線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，W是的不變子空間.由于W中向量在下的像仍在W中，這就使得有可能不必
4、在整個(gè)空間V中來(lái)考慮，而只在不變子空間W中考慮，即把看成是W的一個(gè)線(xiàn)性變換，稱(chēng)為在不變子空間W上引起的變換.為了區(qū)別起見(jiàn)，用符號(hào)來(lái)表示.必須在概念上弄清楚和的異同：是V的線(xiàn)性變換，V中每個(gè)向量在下都有確定的像；是不變子空間W上的線(xiàn)性變換，對(duì)于W中任一向量有.但是對(duì)于V中不屬于W的向量來(lái)說(shuō)，是沒(méi)有意義的.性質(zhì)6W是一維-子空間等價(jià)于W=L（），其中是的特征向量.性質(zhì)7[4]的屬于特征值的特征子空間也是的不變子空間.3結(jié)論及應(yīng)用3.1本節(jié)部分主要介紹關(guān)于不變子空間的若干定理以及與實(shí)際應(yīng)用之間的聯(lián)系，如不
5、變子空間與線(xiàn)性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的聯(lián)系.定理1[5]1）設(shè)是n維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，W是V的-子空間.在W中取一組基，并且把它擴(kuò)充成V的一組基.（1）那么，在這組基下的矩陣就具有下列形狀=(2)其中左上角的K級(jí)矩陣就是在W的基下的矩陣.2）設(shè)V分解成若干個(gè)-子空間的直和：.在每一個(gè)-子空間中取基（i=1,2，…，s），（3）并把它們合并起來(lái)成為V的一組基I，則在這組基下，的矩陣具有準(zhǔn)對(duì)角形狀（4）其中（i=1,2，…，s）就是在基（3）下的矩陣.反之，如果線(xiàn)性變換在基I下的矩陣是準(zhǔn)對(duì)角形（4），則由
6、（3）生成的子空間是-子空間.由此可知，矩陣分解為準(zhǔn)對(duì)角形與空間分解為不變子空間的直和是等價(jià)的.定理2設(shè)是n維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，證明V可以分解成的n個(gè)一維不變子空間的直和的充分必要條件是，V有一個(gè)由的特征向量組成的基.證明設(shè)，其中每個(gè)都是的一維不變子空間.取的基，則，且，即是的特征向量，而且構(gòu)成的一組基.反之，設(shè)的n個(gè)特征向量構(gòu)成的一組基，則）是的不變子空間，且.定理3[1]設(shè)線(xiàn)性變換的特征多項(xiàng)式為，它可以分解成一次因式的乘積，則V可分解成不變子空間的直和其中定理4[6]設(shè)是維線(xiàn)性空間，線(xiàn)性變換
7、在某個(gè)基下矩陣為，則（1）若，其中為階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)是的不變子空間；（2）若，其中為階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)是的不變子空間；（3）若，其中為階方陣，其中為階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)，及都是不變子空間.定理5[2]設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線(xiàn)性空間，是的線(xiàn)性變換，在基，，，下的矩陣是一若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形證明：有且僅有和以下非零不變子空間，證明由不變子空間性質(zhì)可知，是的不變子空間.又由于中一階主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一維不變子空間僅有；中二階主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二維不變子空間只有，以
8、此類(lèi)推可得，中所在列的其他元素均為零的階主子式為第列的主子式為.因此的維不變子空間僅有，而維不變子空間只有綜上，于是得到的非零不變子空間有且僅有個(gè)，.注：由此證明了以下推論：推論1中包含的的不變子空間只有自身；推論2中的任一非零不變子空間都包含；推論3不能分解成的兩個(gè)非平凡不變子空間的直和；推論4設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線(xiàn)性空間，是的線(xiàn)性變換，在基，，，下的矩陣是一若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角形矩陣，其中，.則有且僅有和以下非零不變子空間，，.定理6[1]在復(fù)數(shù)域上（1）如果線(xiàn)性變換是一
