學(xué)案5軌跡與軌跡方程

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1、進(jìn)入學(xué)案5軌跡與軌跡方程名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK返回目錄求軌跡時(shí)經(jīng)常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等.1.直接法如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，直接表述成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.2.定義法如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法.名師伴你行SANPINBOOK3.代入法又稱“相關(guān)點(diǎn)法”，其特點(diǎn)是：動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x

2、′,y′)的坐標(biāo)，可先用x,y來表示x′,y′，再代入曲線C的方程,即得點(diǎn)M的軌跡方程.4.參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄考點(diǎn)一直接法求軌跡方程【例1】線段AB與CD互相垂直平分，

3、AB

4、=2a,

5、CD

6、=2b,動(dòng)點(diǎn)M滿足

7、MA

8、·

9、MB

10、=

11、MC

12、·

13、MD

14、，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【分析】設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，直接表示出

15、MA

16、，

17、MB

18、，

19、MC

20、即可求得M點(diǎn)的軌跡方程.名師伴你行SANPINBOOK返回目

21、錄【評(píng)析】求軌跡方程時(shí)，若題設(shè)沒給出坐標(biāo)系，要根據(jù)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.“適當(dāng)”的原則是使運(yùn)算簡(jiǎn)便，方程簡(jiǎn)單.通常以已知點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸，以已知圖形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，即盡量使定點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)單.【解析】以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(-a,0)，B（a,0），C(0,-b)，D(0,b)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知

22、MA

23、·

24、MB

25、=

26、MC

27、·

28、MD

29、得化簡(jiǎn)得x2-y2=(a2-b2)，可證此方程為所求方程.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄＊對(duì)應(yīng)演練＊如

30、圖所示，已知點(diǎn)Ｆ（１，０），直線ｌ：x＝－１，Ｐ為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Ｐ作直線ｌ的垂線，垂足為點(diǎn)Ｑ，且ＱＰ·ＱＦ＝ＦＰ·FQ.（1）求動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｃ的方程；（2）過點(diǎn)Ｆ的直線交軌跡Ｃ于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，交直線ｌ于點(diǎn)Ｍ，已知ＭＡ＝λ1AF，ＭＢ＝λ2BF，求λ1+λ2的值.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄解法一：（１）設(shè)點(diǎn)Ｐ（x,y），則Ｑ（-1,y）.由ＱＰ·ＱＦ＝ＦＰ·ＦＱ得（x+1,0）·（２,-y）＝（x-1,y）·（-2,y），化簡(jiǎn)得Ｃ：y2=4x.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄(2)設(shè)直線ＡＢ的方程

31、為x=my+1（m≠０）.設(shè)Ａ（x1,y1），Ｂ（x2,y2）,又Ｍ()，y2=4xx=my+1，y2-4my-4=0,Δ＝（-4m）２+16＞０，故y1+y2=4my1y2=-4.由ＭＡ＝λ１ＡＦ，ＭＢ＝λ2BF得y1+=-λ1y1,y2+=-λ2y2,整理得λ1=-1-,λ2=-1-，∴λ1+λ2=-2-·()=-2-·()＝-2-·=0.聯(lián)立方程組消去x得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄解法二(1)由ＱＰ·ＱＦ=ＦＰ·ＦＱ得ＦＱ·（PQ＋PF）=0，∴(PQ-PF)·（PQ+PF)=0,∴PQ２-PF２

32、=0,∴

33、PO

34、=

35、OF

36、.∴點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｃ是拋物線,由題意,軌跡Ｃ的方程為y2=4x.(2)由已知ＭＡ=λ1ＡＦ，ＭＢ=λ2BF，得λ1·λ2<0,則①過點(diǎn)Ａ，Ｂ分別作準(zhǔn)線ｌ的垂線，垂足分別為Ａ1,Ｂ1,則有②由①②得即λ1+λ2=0.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄考點(diǎn)二定義法求軌跡方程【例2】如圖，已知圓A：(x+2)2+y2=1與點(diǎn)B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.（1）△PAB的周長(zhǎng)為10；（2）圓P過點(diǎn)B(2,0)且與圓A外切(P為動(dòng)圓圓心)；（3）圓P與圓A外切且與直線x=1相

37、切（P為動(dòng)圓圓心）.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄【分析】結(jié)合圓錐曲線的定義，分析出曲線E的類型，按定義寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用坐標(biāo)表示向量式子解方程組可得.【解析】（1）根據(jù)題意，知

38、PA

39、+

40、PB

41、+

42、AB

43、=10，即

44、PA

45、+

46、PB

47、=6>4=

48、AB

49、,故P點(diǎn)的軌跡是橢圓,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其方程為（y≠0）.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄（2）設(shè)圓P的半徑為r，則

50、PA

51、=r+1,

52、PB

53、=r,因此

54、PA

55、-

56、PB

57、=1.由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支

58、，且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其方程為4x2-y2=1(x≥).（3）依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x=2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p=4.因此其方程為y2=-8x.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄【評(píng)析】（1）本題為利用圓錐曲線定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問題.若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲