初等變換與初等矩陣

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1、2.3初等變換與初等矩陣授課題目2.3初等變換與初等矩陣授課時(shí)數(shù)：4課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：掌握初等變換的定義，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，階梯形矩陣，和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣教學(xué)重點(diǎn)：用初等變換求矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、階梯形矩陣，和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣教學(xué)難點(diǎn)：求矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、階梯形矩陣，、行簡(jiǎn)化階梯形矩陣教學(xué)過(guò)程：用初等變換化簡(jiǎn)矩陣的性質(zhì)，這是研究矩陣的重要手段。為了把變換過(guò)程用運(yùn)算的式子表示出來(lái)，我們要引入初等矩陣，研究初等矩陣與初等變換的關(guān)系。一．初等變換與初等矩陣1.初等變換（1）定義定義1矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：1）換法變換：交換矩陣某兩行（列）的位置；2）倍法變換：用

2、一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；3）消法變換：把矩陣的某一行（列）的倍加到另一行（列）上去，為任意數(shù)。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換。（2）記法分別用表示三種行（列）變換，寫(xiě)在箭頭上面表示行變換，寫(xiě)在箭頭下面表示列變換。或者行變換用，?列變換用例1.2.初等矩陣（1）初等矩陣的定義定義2由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣每個(gè)初等變換都有一個(gè)與之相應(yīng)的初等矩陣、、分別叫做換法陣、倍法陣、消法陣。*是從行的角度來(lái)定義，進(jìn)行列消法變換時(shí)，要轉(zhuǎn)化為行來(lái)表示。二．初等變換與初等矩陣的關(guān)系1、問(wèn)題能否用矩陣的乘積的等式把初等變換的過(guò)程表示出來(lái)？如果能夠，這對(duì)研究矩陣的關(guān)系是有很大

3、幫助的。2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理2.3.1對(duì)一個(gè)矩陣作一次初等行變換,就相當(dāng)于在的左邊乘上相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)作一次初等列變換,就相當(dāng)于在的右邊乘上相應(yīng)的階初等矩陣。（結(jié)合分塊矩陣，直接相乘，就可證出）證我們只對(duì)初等行變換給出證明，列變換的情況可以同樣證明。設(shè)其中分別代表矩陣A的第1行，第2行，一直到第m行。用m階初等矩陣左乘A得這相當(dāng)與把A的第i行與第j列交換用m階初等矩陣左乘A得這相當(dāng)用k乘A的第i行、用m階初等矩陣左乘A得這相當(dāng)與把A的第j行的k倍加到第i行上。三、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形1、矩陣的等價(jià)關(guān)系等價(jià)是矩陣的一種關(guān)系，它具有如下性質(zhì)：1）反身性，即；2）對(duì)稱(chēng)性，即若，則；3）傳

4、遞性，即若，且，則。這些性質(zhì)對(duì)研究矩陣的關(guān)系很有用。2、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定理2.3.2任意一個(gè)矩陣,都與形式為的矩陣等價(jià)。我們稱(chēng)為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。證設(shè)A=0，那么A已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形了。以下設(shè)。A至少有一個(gè)不為零的元素，通過(guò)行，列的交換總可以把這個(gè)元素調(diào)到（1，1）位置上去。不妨設(shè)，把A的其余行減去第一行的倍，把A的其余列減去第一列的倍。再用乘A的第一行，A就化成，矩陣，對(duì)重復(fù)以上步驟，總可以化成的形式。讓學(xué)生記住定理2.3.2的5種形式：；；；；。例2設(shè)求的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。解推論1對(duì)兩個(gè)矩陣和，與等價(jià)的充分必要條件是存在m階初等矩陣P1，P2，…，PS和n階初等矩陣Q1，Q2，…，Qt,使得P1P2

5、…PSAQ1Q2…Qt=B。推論2對(duì)每個(gè)矩陣,總存在m階初等矩陣P1，P2，…，PS和Q1，Q2，…，Qt,使得P1P2…PSAQ1Q2…Qt=四、階梯形矩陣與簡(jiǎn)化階梯形矩陣1、階梯形矩陣與簡(jiǎn)化階梯形矩陣的定義定義4若矩陣A具有以下特點(diǎn)：1）元素全為零的行（簡(jiǎn)稱(chēng)零行）在矩陣下方（如果有的話）；2）元素不全為零的行（簡(jiǎn)稱(chēng)為非零行）的第一個(gè)不為零的元素（簡(jiǎn)稱(chēng)首非零元）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)格增加，則稱(chēng)矩陣A為階梯形矩陣。定義5首非零元為1，且首非零元所在列的其余元素全為零的階梯矩陣稱(chēng)為簡(jiǎn)化階梯形矩陣。2、基本定理定理2.3.3任意一個(gè)矩陣總可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為階梯形矩陣，進(jìn)而化為行簡(jiǎn)化階梯

6、形矩陣。證設(shè)中第1列不全為零，總可以交換兩行使左上角元素不為零。不妨設(shè)倍，A化成形如的矩陣。如A的第1列元素全為零，則考慮第2列，做法相同。不妨設(shè)的矩陣。如此繼續(xù)下去，總可以將A經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣。進(jìn)而化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣。例3設(shè)，用初等行變換化為階梯形矩陣，進(jìn)而化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。階梯形矩陣。就是A的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。易知，階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的非零行數(shù)不超過(guò)它的行數(shù)和列數(shù)。