初等變換與初等矩陣

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1、§2.5初等變換與初等矩陣一、矩陣的初等變換三、初等矩陣四、等價(jià)五、利用初等變換求逆矩陣二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形一、矩陣的初等變換所謂矩陣的初等變換來(lái)源于對(duì)線性方程組的同解變換。前面幾節(jié)主要介紹了矩陣與矩陣之間以及矩陣與(實(shí))數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系。本節(jié)則主要介紹矩陣內(nèi)部元素與元素之間、行與行之間以及列與列之間的操作關(guān)系。下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(記為)(記為)一、矩陣的初等變換(記為)(1)交換(或?qū)φ{(diào))兩行；(3)某行的k倍加到另一行上。(2)將某行k倍；矩陣的行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為初等變換．同樣可定義列初等變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”).定義“→

2、”連接，不可用“=”連接。注意對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換時(shí)，所得矩陣和原矩陣之間用例利用初等變換“化簡(jiǎn)”矩陣記為二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形1.行階梯形稱矩陣A為行階梯形，如果滿足如下條件：(1)若A有零行，則零行位于最下方。(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元(即非零首元)的列號(hào)定義嚴(yán)格大于上一行的非零首元的列號(hào).二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形1.行階梯形而不是階梯形矩陣.下列矩陣都是階梯形矩陣：例如二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形1.行階梯形2.行標(biāo)準(zhǔn)形稱矩陣A為行標(biāo)準(zhǔn)形，如果滿足如下條件：(1)A為行階梯形；(2)每個(gè)非零行的非零首元為1.定義(3)每個(gè)非零行的非零首元所在列的其余元素全為0.矩陣為行標(biāo)準(zhǔn)

3、形.例如二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形1.行階梯形2.標(biāo)準(zhǔn)行階梯形3.標(biāo)準(zhǔn)形稱矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形,如果A的左上角為單位陣,其余的定義元素全為0，即二、行階梯形與標(biāo)準(zhǔn)形1.行階梯形2.標(biāo)準(zhǔn)行階梯形3.標(biāo)準(zhǔn)形4.結(jié)論(1)對(duì)于任何矩陣，經(jīng)過(guò)初等行變換總可以變?yōu)樾须A梯形；(2)進(jìn)一步，經(jīng)過(guò)初等行變換總可以變?yōu)樾袠?biāo)準(zhǔn)形；(3)更進(jìn)一步，經(jīng)過(guò)初等變換總可以變成標(biāo)準(zhǔn)形.下面從另一個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)初等變換，變?yōu)閷?duì)矩陣的運(yùn)算。并把對(duì)矩陣的操作三、初等矩陣引例單位陣交換兩行左乘矩陣矩陣被交換兩行單位陣交換兩列右乘矩陣矩陣被交換兩列單位矩陣I經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三類初

4、等矩陣三、初等矩陣定義(1)交換單位矩陣的兩行(列)；(3)將單位矩陣某行(列)的k倍加到另一行(列)上。(2)將單位矩陣某行(列)k倍；三、初等矩陣(1)交換單位矩陣的兩行(列)；第i列第j列第i行第j行1.三類初等矩陣三、初等矩陣(1)交換單位矩陣的兩行(列)；1.三類初等矩陣(2)將單位矩陣某行(列)k倍；第i列第i行三、初等矩陣(1)交換單位矩陣的兩行(列)；1.三類初等矩陣(2)將單位矩陣某行(列)k倍；(3)將單位矩陣某行(列)的k倍加到另一行(列)上。第j行第i行第i列第j列(1)對(duì)A施行一次初等行變換，三、初等矩陣1.三類初等矩陣2.初等矩陣的作用定理

5、設(shè)A是一個(gè)階矩陣，(2)對(duì)A施行一次初等列變換，證明(略)注孤立地看一個(gè)初等陣，它既可以是一個(gè)行初等陣,又可以是一個(gè)列初等陣。因此關(guān)鍵是要看它乘在矩陣的哪一邊。相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階行初等矩陣；相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階列初等矩陣。三、初等矩陣1.三類初等矩陣2.初等矩陣的作用結(jié)論(1)任何矩陣左乘一系列行初等陣總可以變?yōu)樾须A梯形;(2)進(jìn)一步左乘一系列行初等陣總可以變?yōu)樾袠?biāo)準(zhǔn)形；(3)更進(jìn)一步右乘一系列列初等陣總可以變成標(biāo)準(zhǔn)形.這里所說(shuō)的“變?yōu)椤辈辉偈恰啊倍恰?”。注意？I，三、初等矩陣1.三類初等矩陣2.初等矩陣的作用3.初等矩陣的逆矩陣慕容復(fù)斗轉(zhuǎn)

6、星移術(shù)以彼之道還施彼身？I，？I，對(duì)列初等陣有類似的結(jié)果?？梢?jiàn)，初等矩陣都可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣。1.等價(jià)的定義與性質(zhì)則稱矩陣B為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.四、等價(jià)定義(1)如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，記作性質(zhì)(1)反身性，(2)對(duì)稱性，(3)傳遞性，即若則則若與B等價(jià)，(2)如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣等價(jià)相似合同則稱A四、等價(jià)1.等價(jià)的定義與性質(zhì)2.關(guān)于可逆方陣的幾個(gè)結(jié)論定理(3)僅用初等行變換就可以將A化為單位矩陣.(2)A一定可以表示成一些初等矩陣的乘積；(1)A一定等價(jià)于單位矩陣；設(shè)A為n階可逆方陣，則證明即A一定可以表示成一些初等矩陣的乘積.(1

7、)一定存在初等矩陣和使得由A可逆且初等矩陣可逆有即得(2)由上式可得即僅用初等行變換就可以將A化為單位矩陣.(3)由可得例將矩陣表示成有限個(gè)初等初陣的乘積。解其中四、等價(jià)1.等價(jià)的定義與性質(zhì)2.關(guān)于可逆方陣的幾個(gè)結(jié)論3.對(duì)于一般矩陣的幾個(gè)結(jié)論定理(1)設(shè)A,B為m×n矩陣，則A和B等價(jià)的充要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，PAQ=B.(2)對(duì)于矩陣Am×n,一定存在可逆矩陣,(可作為矩陣等價(jià)的另一種定義)使得使得五、利用初等變換求逆矩陣設(shè)A為可逆矩陣，則僅用初等行變換就可以將A化為即1.原理即存在初等矩陣，使得單位矩陣.求解系數(shù)陣為A,右端