矩陣的初等變換與初等矩陣

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1、線性代數(shù)第二章矩陣2.5矩陣的初等變換與矩陣的秩2.5.1矩陣的初等變換用加減消元法解線性方程組時(shí)，所用的初等變換法，使用在矩陣中，就是矩陣的初等變換。1.矩陣初等變換的概念中學(xué)中用消元法解線性方程組時(shí)，常用的同解變換是：①交換兩個(gè)方程的位置；②用一個(gè)非零的常數(shù)乘方程的兩端；③一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。例如：解線性方程組解得線性方程組解為：行階梯形矩陣行階梯形方程組①交換i行與j行，記作：交換i列與j列，記作：②以非零數(shù)k乘i行,記作：以非零數(shù)k乘i列,記作：③第j行k倍加到第i行,記作：第j列k倍加到第i列,記作：一般或或定義若矩陣A經(jīng)初等變換得到矩陣

2、B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記為：AB※一般A≠B。例如已知矩陣對(duì)其作如下初等行變換，得＝B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣。2.行階梯形矩陣（1）行階梯形矩陣可劃出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)。(2)各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大（或說(shuō)其列標(biāo)一定不小于行標(biāo)）.(1)非零行(元素不全為零的行)的行標(biāo)小于零行(元素全為零的行)的標(biāo)號(hào)；定義2.12稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣,簡(jiǎn)稱為階梯形矩陣:（2）行最簡(jiǎn)矩陣（約化階梯形矩陣）對(duì)例3中的矩陣再作如下的初等行變換：階梯頭a11a2

3、2a340005=C稱這種特殊形狀的階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。定義2.13稱滿足下列條件的階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是零.定義2.14如果一個(gè)矩陣的左上角為單位矩陣，其他位置的元素都為零，則稱這個(gè)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.例如：定理2.3任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的行初等變換化為階梯形矩陣。都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。定理2.4任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的行初等變換化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣，任何非零矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。證明看下面定理的證明，類似。證明：(對(duì)非零矩陣證明)證明：不妨設(shè)a11≠0，否則，因aij不

4、全為零，故必有某個(gè)akl≠0.通過(guò)適當(dāng)?shù)男谢Q、列互換可使這個(gè)非零元素位于矩陣左上角。用乘第1行，然后將第i行（i=2,…，m）加上第1行的適當(dāng)倍數(shù)，矩陣A化為：其中A1為(m－1)×(n－1)矩陣。A1再將上矩陣第一列的適當(dāng)倍數(shù)加到其他各列，若A1=0，則定理得證；否則，對(duì)A1重復(fù)對(duì)A的討論，如此一直變換，可化為：類似，依次將第二、三、…、r列的適當(dāng)倍數(shù)加到其他各列，得標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。Er例如：階梯形簡(jiǎn)化階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形完2.5.2矩陣的秩(Rankofamatrix)矩陣的秩的概念是深入研究線性方程組等問(wèn)題的重要工具.反應(yīng)了一個(gè)矩陣的內(nèi)在重要特征，在矩陣的理論

5、與應(yīng)用中有重要意義。線性方程組完全由系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)矩陣確定，線性方程組給定后，解的情況客觀已定，反應(yīng)在矩陣中應(yīng)當(dāng)是什么呢？──矩陣的秩。下面首先利用行列式來(lái)定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法。2.5.2矩陣的秩(Rankofamatrix)定義1在m?n矩陣A中，任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。例如，矩陣,取1，3兩行和2，4兩列,交叉處的元素構(gòu)成的二階子式為：1.矩陣的k階子式②在矩陣A中，不為零的k階子式，其階數(shù)最低為1。注意：

6、①在m×n矩陣A中，k階子式共有利個(gè)；（1）若A＝0，則其任何子式都為零；我們關(guān)心的是不為零的最高階數(shù)為多少？（2）若A≠0，則至少有一個(gè)一階子式不為零，考察A的二階子式，若存在二階子式不為零,再考察A的三階子式，如此進(jìn)行下去,最后必達(dá)到A中有r階子式不為零,而再?zèng)]有比r更高階的不為零的子式，這個(gè)不為零的子式的最高階數(shù)r就稱為矩陣A的秩。2.矩陣的秩定義2.16如果A=(aij)m×n中至少有一個(gè)r階子式不等于零，而所有r+1階子式(如果存在r+1階子式時(shí))都等于零，則稱r為矩陣A的秩，記為:r(A)或rank(A)或秩(A)。規(guī)定：零矩陣的秩為0。例如，r(

7、En)=,r(A)=r.r(A)=m(n)時(shí)，稱矩陣A為行(列)滿秩矩陣.n;⑤n階方陣A可逆的②若A中有k階子式不為零，則r(A)k；若A中所有k階子式全為零，則r(A)k。④若r(A)=r,則A中所有r+1,r+2,……階子式=A中所有r－1階子式?0.?存在≠0.3.矩陣秩的簡(jiǎn)單性質(zhì)：①0≤r(A)≤min{m，n},且r(A)=0※r(A)＝r,則r為A中不為零子式的最高階數(shù)。③r(AT)r(A)。r(A)=n.⑥矩陣的秩是唯一的?！?=⑦若矩陣A有子矩陣A1，則r(A1)r(A)?！?1)按定義求4.矩陣秩的求法對(duì)于低階矩陣或特殊矩陣，可按定義來(lái)求秩

8、。用定義求一般矩陣的秩，由高階到低階或