§ 3 . 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義

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1、§3.高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.設(shè)s=f(t),則瞬時(shí)速度為v(t)=f′(t)∵加速度a是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率∴a(t)=v′(t)=[f′(t)]′.定義如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),即f′(x+?x)?f′(x)(f′(x))′=lim?x→0?x存在,則稱(f′(x))′為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù).22dydf(x)記作f′′(x),y′′,或.22dxdx3dy二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),f′′′(x),y′′′,.3dx4dy(4)(4)三階導(dǎo)數(shù)

2、的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),f(x),y,.4dx一般地,函數(shù)f(x)的n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù),記作nndydf(x)(n)(n)f(x),y,或.nndxdx二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)地,f(x)稱為零階導(dǎo)數(shù);f′(x)稱為一階導(dǎo)數(shù).二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例1設(shè)y=arctanx,求f′′(0),f′′′(0).11?2x解y′=y′′=()′=22221+x1+x(1+x)2222(3x2?1)?2x?2(1+x)+2x?2(1+x)2xy′′′=

3、(22)′=24=23(1+x)(1+x)(1+x)?2x22(3x?1)∴f′′(0)=22x=0=0;f′′′(0)=23x=0=?2.(1+x)(1+x)α(n)例2設(shè)y=x(α∈R),求y.α?1解y′=αxα?1α?2y′′=(αx)′=α(α?1)xy′′′=(α(α?1)xα?2)′α?3=α(α?1)(α?2)x""(n)α?ny=α(α?1)"(α?n+1)x(n≥1)若α為自然數(shù)n,則(n)n(n)(n+1)y=(x)=n!,y=(n!)′=0.nn?1設(shè)y=ax+ax+"+ax+a01n

4、?1n（n)則y=an!0注意:求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(n)例3設(shè)y=ln(1+x),求y.11解y′=y′′=?21+x(1+x)2!3!y′′′=y(4)=?3(1+x)(1+x)4""(n?1)!(n)n?1y=(?1)(n≥1,0!=1)n(1+x)(n)例4設(shè)y=sinx,求y.π解y′=cosx=sin(x+)2ππππy′′=cos(x+)=sin(x++)=sin(x+2?)2222ππy′′′=cos(x+2?)=sin(x+3?)2

5、2""(n)πy=sin(x+n?)2(n)π同理可得(cosx)=cos(x+n?)22.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:設(shè)函數(shù)u和v具有n階導(dǎo)數(shù),則(n)′(1)(u±v)(n)=u(n)±v(n)?u??1?(4)??=?u???v??v?(n)(n)(2)(Cu)=Cun(n?1)(n)(n)(n?1)(n?2)′′(3)(u?v)=uv+nuv′+uv2!n(n?1)"(n?k+1)(n?k)(k)(n)+uv+"+uvk!nk(n?k)(k)萊布尼茲公式=∑Cnuvk=022x(20)例5設(shè)y=xe,求y.2

6、x2解設(shè)u=e,v=x,則由萊布尼茲公式知(20)=2x(20)?2+2x(19)?2′y(e)x20(e)(x)20(20?1)2x(18)2+(e)?(x)′′+02!202x2192x=2e?x+20?2e?2x20?19182x+2e?22!202x2=2e(x+20x+95)小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);思考題2設(shè)連g′(x)續(xù)，且f(x)=(x?a)g(x)，求f′′(a).2∵f′(x)=2(x?a)g(x)+(x?a)g′(x)∴f′′(x)=2g(x)+2

7、(x?a)g′(x)+2(x?a)g′(x)2+2(x?a)g′′(x)思考題解答∵g(x)可導(dǎo)2∴f′(x)=2(x?a)g(x)+(x?a)g′(x)∵g′′(x)不一定存在故用定義求f′′(a)f′(x)?f′(a)f′′(a)=limf′(a)=0x→ax?af′(x)=lim=lim[2g(x)+(x?a)g′(x)]=2g(a)x→ax?ax→a