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《§2.4高階導(dǎo)數(shù)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§2.4高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動的加速度.設(shè)位移函數(shù)為s=s(t),則速度函數(shù)為v(t)=s?(t).由于加速度a是速度v(t)關(guān)于時間t的變化率,所以a=[v(t)]?=[s?(t)]?定義:如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),即存在,則稱(f?(x))?為函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù).記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).一般地,函數(shù)f(x)的n–1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù),記作相應(yīng)地,f(x)稱為零階導(dǎo)數(shù),f?
2、(x)稱為一階導(dǎo)數(shù).二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例1:解:例2:解:若?為自然數(shù)n,則例3:解:同理可得注意:求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù),(必要時用數(shù)學(xué)歸納法證明)——逐階求導(dǎo),尋求規(guī)律,寫出通式.2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:設(shè)函數(shù)u和v具有n導(dǎo)數(shù),則(1)(u?v)(n)=u(n)?v(n);(2)(Cu)(n)=Cu(n);萊布尼茲(Lebniz)公式.例4:解:設(shè)u=e2x,v=x2.并注意v???=0,則由萊布尼茲公式知:3.間接法:
3、利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運(yùn)算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式:例5:解:將函數(shù)表達(dá)式化簡,所以注1.關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù),必須注意并分清是對哪一個變量來求導(dǎo)數(shù),尤其是求高階導(dǎo)數(shù).注2.都是對x求導(dǎo)注3.為y=f(u)對u求導(dǎo)數(shù)后,再用u=x2代回.三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法:1.直接法;2.間接法.思考題設(shè)g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f(x)=(x–a)2g(x),求f?(a).思考題解答由于g(x)可導(dǎo),所以:又由于g?(x)不一定存在,故
4、需用定義求f?(a).注意到f?(a)=0,所以:例6:解:例7:試從導(dǎo)出解:設(shè)y=y(x),x=?(y),則y?為x的函數(shù),x為y的函數(shù).
