曲面論曲面上曲線的曲率(六)

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1、微分幾何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.33.2曲面上曲線的曲率上面介紹了曲面的第二基本形式，它是曲面到其切平面有向距離的2倍，它刻畫(huà)了曲面的彎曲性。曲面在一點(diǎn)沿不同方向彎曲程度不同，或說(shuō)曲面離開(kāi)切平面的速度不同。這個(gè)彎曲性可由曲面在一點(diǎn)沿這個(gè)方向的一種曲率（即法曲率）來(lái)刻畫(huà)。為介紹法曲率，我們先看曲面上的曲線在一點(diǎn)的曲率。一曲面上任一曲線的曲率2??設(shè)C類(lèi)曲面S：rruv?(,)，P(u,v)為其上一點(diǎn)，S上過(guò)P點(diǎn)的一曲???線（C）方程為u=u(s),v=v(s)，或rrsrusvs?()?[(),()]，S

2、為曲線(C)的自然參數(shù)，(C)在P點(diǎn)的曲??率為k，則有??cos?，其?P中?為曲線(C)在P點(diǎn)的主法??????向量?與曲面在P點(diǎn)的單位?法向量n的夾角。???n證設(shè)?,?為曲面上曲??線(C)：rrs?()在P點(diǎn)的單位切向量與主法向量，則?????????rr???????,,??????r?nn???????cos。????222????rnds?????Ldu??2MdudvNdv另一方面rn???，所以??cos?=。222ds??Edu??2FdudvGdv說(shuō)明：對(duì)于曲面上已給定點(diǎn)和曲面曲線在該點(diǎn)的切方向，上式

3、右端都有確定的值。因此若在曲面上一個(gè)給定點(diǎn)給出相切的兩條曲面曲線，且它們有相同的主法向量，則它們的主法向量與曲面在這點(diǎn)的法向量所成的角度?也相同，所以據(jù)上式，它們的曲率k也相同。特別21微分幾何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3的，曲線(C)在P點(diǎn)的密切平面與曲面的交線就與(C)在P點(diǎn)有相同的切線和主法線,所以曲率相同。因此對(duì)于曲面曲線曲率的研究可以轉(zhuǎn)化為這曲面上一條平面截線的曲率的討論。所以這一小結(jié)討論的是曲面在一點(diǎn)沿一方向的不同曲線，曲面離開(kāi)切平面的速度。二曲面上法截線的曲率?給出曲面S上一點(diǎn)P和P點(diǎn)處的一個(gè)

4、方向(d)=du:dv,設(shè)n為曲面在?P點(diǎn)的單位法向量，則由P和(d)、n確定的平面稱(chēng)為曲面在P點(diǎn)的沿方向(d)的法截面，這法截面與曲面的交線稱(chēng)為曲面在P點(diǎn)沿方向(d)的法截線。設(shè)曲面在P點(diǎn)由方向(d)所確定的法截線為()C，()C在P點(diǎn)的曲00??率為?0，由于()C0的主法向量?0??n,0???或，所以?0（>0）為??????=?。當(dāng)n與?同向，即法截線向n的正向彎曲時(shí)，取“+”，00????n與?0反向，即法截線向n的反向彎曲時(shí)，取“－”。???n?n0du:dvdu:dv(C)?0?(C)0022微分幾何教案（十

5、四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3可見(jiàn)，曲面上一點(diǎn)在一方向上的彎曲性?xún)H由?（>0）還不能完0全確定，還要考慮曲面的彎曲方向，因此再引入法曲率的概念。三法曲率定義曲面在給定點(diǎn)沿一方向du:dv的法曲率記為?，定義為n???當(dāng)法截線向n的正側(cè)彎曲0?n??????當(dāng)法截線向n的反側(cè)彎曲0????注：1.由定義及???，得??；0n??2.?n的絕對(duì)值是法截線的曲率?0。?n不僅刻畫(huà)了曲面在P點(diǎn)沿方向du:dv的彎曲程度，還說(shuō)明了彎曲的方向：曲面向正側(cè)彎曲時(shí)?>0；曲面向負(fù)側(cè)彎曲時(shí)?<0.nn3.由前面例題知，半徑為R的球面上

6、任一點(diǎn)處沿任意方向的法11曲率?n?或?n??；平面上每一點(diǎn)處沿任意方向的法曲率為?n?0；RR4.設(shè)曲面上過(guò)曲面上一點(diǎn)P的一曲線()C和過(guò)P與()C相切的法截線為()C，()C與()C相切的方向是du:dv，()C在P點(diǎn)的曲率為k,00?????曲面在P點(diǎn)沿方向du:dv的法曲率為n，則由??cos?和?n?可??得???n?cos。由此可知，曲面曲線的曲率都可以轉(zhuǎn)化為法曲率來(lái)討論。?5.設(shè)法截線在P點(diǎn)向n的正向彎曲,則?n?0,這時(shí)??n?0。則11法截線()C的曲率半徑R?。在P點(diǎn)曲線()C的曲率半徑R?。則0n??0

7、由???n?cos知RR?ncos?。RR?cos?的幾何意義可以由梅尼埃定理表述。n23微分幾何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3四梅尼埃定理定理曲面曲線()C在給定點(diǎn)P的曲率中心就是在P點(diǎn)與曲線()C具有共同切線的法截線()C的曲率中心C在曲線()C的密切平面上00的投影。例如若給出的曲面是球面，球面的切平面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，這個(gè)半徑就是球面的法線。所以球面的所有法線過(guò)它的球心。因此在球面的每一點(diǎn)處所取的法截面必過(guò)球心。由此推出所有法截線是大圓，且任意法截線()C的曲率中心C就是這個(gè)球面的中心.另一方面,0

8、0若取球面的任意平面截線為()C,則所得到的()C是圓,因此()C的曲率中心是這個(gè)圓的圓心（如圖）.現(xiàn)在從()C的曲率中心C(也C00即球心)作圓()C所在平面的垂()CC()C00線,則垂足是圓()C的圓心,也就是曲線()C的曲率中心C。習(xí)題：P1144,5思考：624微分幾何教案（十四