曲線和曲面上的積分

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1、曲線和曲面上的積分曲線積分1.曲線要素1內(nèi)容提要曲線積分：曲線長(zhǎng)、第一和第二型曲線積分曲面積分：曲面面積、第一和第二型曲面積分Green公式、Gauss公式、Stokes公式梯度、散度、旋度2曲線與直線、曲面與平面任務(wù):如何把在直線和平面上的長(zhǎng)度和面積“推廣”到曲線和曲面上去.更一般地說(shuō)如何把定義在n維歐氏空間上的測(cè)度推廣到n維曲面上去.方法:用折線逼近曲線的長(zhǎng)度、切面塊網(wǎng)逼近曲面面積.一般方法:超切面塊網(wǎng)逼近超曲面面積新問(wèn)題和新領(lǐng)域:可求長(zhǎng)曲線(曲面、超曲面)與不可求長(zhǎng)曲線(曲面、超曲面)3如何討論歐氏空間中的超曲面簡(jiǎn)單的情形:曲線(一維超曲面)和余一維超曲面、二

2、維歐氏空間中的曲線、三維歐氏空間中的曲線曲面復(fù)雜的情形:其他的情形,其討論需要引入新的數(shù)學(xué)工具4曲線積分曲線表示和曲線長(zhǎng)度曲線上的測(cè)度和第一型曲線積分(質(zhì)量)第二型曲線積分(功)5曲線的映射觀點(diǎn)定義設(shè)?:[a,b]?Rn(n?2)若?連續(xù),稱L=?([a,b])為Rn中的一條連續(xù)曲線若?具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且?t?[a,b],??(t)?0,稱L=?([a,b])為Rn中的一條光滑曲線;若?還是單射,L=?([a,b])為Rn中的一條正則曲線若?連續(xù),且存在a=a0

3、,b])為Rn中的一條分段光滑(正則)曲線6曲線的集合觀點(diǎn)定義設(shè)L?Rn,若存在?:[a,b]?Rn,有L=?([a,b])若?連續(xù),就稱L為Rn中的一條連續(xù)曲線,稱?為L(zhǎng)的一個(gè)表示若?光滑且導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)不為零,就稱L為Rn中的一條光滑曲線,稱?為L(zhǎng)的光滑表示若?光滑,單射且導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)不為零,就稱L為Rn中的一條正則曲線,稱?為L(zhǎng)的正則表示7同一條曲線的不同表示問(wèn)題同一條曲線可以有不同表示：集合觀點(diǎn)下的正則曲線一定有非正則的表示;幾何上正則的曲線一定有正則表示;幾何上非正則的曲線一定沒(méi)有正則表示在下面的討論中,我們總假設(shè)?連續(xù),L是正則曲線或分段正則曲線,?是其相應(yīng)的表示

4、因此將對(duì)曲線的兩種觀點(diǎn)統(tǒng)一8曲線的分類設(shè)?:[a,b]?Rn(n?2),連續(xù)若?是單射,稱L=?([a,b])為Rn中的簡(jiǎn)單曲線若?(a)=?(b),稱L=?([a,b])為Rn中的閉曲線;若?(a)=?(b),?在[a,b)上是單射,稱L=?([a,b])為中的簡(jiǎn)單閉曲線;9曲線的方向設(shè)L?Rn,?:[a,b]?Rn(n?2),連續(xù),L=?([a,b]),規(guī)定t由a變化到b所對(duì)應(yīng)的方向?(t)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)長(zhǎng)由?所確定的正方向,簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)的正向;而把t由b變化到a所對(duì)應(yīng)的方向?(t)的運(yùn)動(dòng)方向規(guī)定為L(zhǎng)由?所確定的負(fù)方向,簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)的負(fù)向10曲線長(zhǎng)度定義設(shè)?:[a,b]?

5、Rn(n?2),連續(xù),L=?([a,b])設(shè)?:a=t0

6、L

7、

8、L

9、=?,就說(shuō)L是不可求長(zhǎng)的.12向量值函數(shù)的積分不等式設(shè)?=(?1,…,?n):E?Rn?Rn(n?2),

10、.

11、為Rn上的一個(gè)范數(shù).若?i=1,…n,?i?L(E),并定義則

12、?

13、?L(E),且注:下面的應(yīng)用中,

14、.

15、為歐氏范數(shù)#13向量值函數(shù)的積分不等式證明注意

16、.

17、是Rn上的連續(xù)函數(shù),因此

18、?

19、在E上可測(cè).再由

20、

21、?

22、?C(

23、?1

24、+…+

25、?n

26、)(右邊的

27、.

28、為通常的絕對(duì)值,C為正常數(shù))可知

29、?

30、?L(E).下面證明不等式:?j=1,..,n,取簡(jiǎn)單函數(shù)列記,則且14積分不等式證明(續(xù)1)(*)的證明,不妨設(shè)注意在這里可以把E的分解取的僅與k有關(guān),且15積分不等式證明(續(xù)2)因此由范數(shù)

31、.

32、的連續(xù)性可知由范數(shù)

33、.

34、的連續(xù)性和Lebesgue控制收斂定理可知不等式獲證#16正則曲線弧長(zhǎng)計(jì)算公式設(shè)L為正則曲線,?:[a,b]?Rn為L(zhǎng)的正則表示,則L是可求長(zhǎng)的，且長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))為證明:任取[a,b]的一個(gè)分法?:a=t0

35、不等式得到所以由此得到L是可求長(zhǎng)的.下面證明18正則曲線弧長(zhǎng)計(jì)算公式證明(續(xù)1)任取?>0,要找分法?:a=t00,使得取定分法?:a=t0