時(shí)域離散系統(tǒng)的差分方程描述

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1、線性常系數(shù)差分方程的表示線性：y(n-i)，x(n-i)各項(xiàng)只有一次冪。常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常數(shù)。階數(shù)：y(n-i)項(xiàng)中i的最大值與最小值之差。差分方程重要的特點(diǎn)：系統(tǒng)當(dāng)前的輸出不僅與激勵(lì)有關(guān)，而且與系統(tǒng)過去的輸出有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶性。差分方程與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系指系統(tǒng)的輸入與輸出的運(yùn)算關(guān)系的表述方法。由差分方程可直接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。用⊕表示相加器；用表示乘法器；用表示一位延時(shí)單元。例：差分方程y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：x(n)b0b0x(n)⊕y(n)b0x(n)-a1y(n-1)-a

2、1y(n-1)-a1y(n-1)求解差分方程——遞推法設(shè)一系統(tǒng)的差分方程為y(n+1)+a0y(n)=b0x(n)，其輸入序列x(n)=0，求輸出y(n)。解答：由x(n)=0得y(n+1)=-a0y(n)設(shè)y(n)的初值為y(0)，則n=1時(shí)，y(1)=-a0y(0)n=2時(shí)，y(2)=(-a0)2y(0)n=3時(shí)，y(3)=(-a0)3y(0)…n=n時(shí)，y(n)=(-a0)ny(0)即y(n)=y(0)(-a0)nu(n)差分方程相同，輸入信號(hào)也一樣，但不同的初始條件會(huì)得到不同的系統(tǒng)輸出。注意用遞推法求解差分方程練習(xí)1設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=a

3、y(n-1)+x(n)描述，x(n)=?(n)，分別求y(-1)=0和y(-1)=1時(shí)輸出序列y(n)。(1)y(-1)=0n=0,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1,y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2….n=n,y(n)=any(n)=anu(n)(2)y(-1)=1，同理可得y(n)=(1+a)nu(n)[單擊退出][解答]用遞推法求解差分方程練習(xí)2對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個(gè)因果解。但對(duì)于差分方程，基本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分

4、方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。例：設(shè)差分方程為y(n)=ay(n-1)+x(n)，n>0時(shí)，y(n)=0。當(dāng)x(n)=?(n)時(shí)，求輸出序列y(n)。[解答]解：y(n-1)=a-1(y(n)-?(n))n=1,y(0)=a-1(y(1)-?(1))=0n=0,y(-1)=a-1(y(0)-?(0))=-a-1n=-1,y(-2)=a-1(y(-1)-?(-1))=-a-2……n=-

5、n

6、,y(n-1)=-an-1將n-1用n代替得y(n)=-anu(-n-1)[單擊退出]求解差分方程——MATLABMATL

7、AB提供了filter函數(shù)求解差分方程。調(diào)用格式1：yn=filter(B,A,xn)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)輸入向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)yn。調(diào)用格式2：yn=filter(B,A,xn,xi)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)輸入向量xn的全響應(yīng)yn。全響應(yīng)就是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)和輸入信號(hào)xn引起的零狀態(tài)響應(yīng)之和。xi是等效初始條件的輸入序列，所以xi由初始條件確定，MATLAB中由函數(shù)filtic計(jì)算，其調(diào)用格式如下：xi=filtic[B,A,ys,xs]其中，ys和xs是初始條件向量：ys=[y(-1),y(-2),…,y(-N)]xs=[x(-1),x(-2),…,x(-M

8、)]如果xn是因果序列，由xs=0，調(diào)用時(shí)可缺省。B和A是差分方程的系數(shù)向量，即B=[b0,b1,…,bM]，A==[a0,a1,…,aN]求解差分方程——MATLAB示例求解差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，y(-1)=1。MATLAB代碼：a=0.8;ys=1%設(shè)a=0.8xn=[1,zeros(1,30)];%設(shè)x(n)=?(n),長(zhǎng)度N=31B=1;A=[1,-a];xi=filtic(B,A,ys);yn=filter(B,A,xn,xi);n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’)

9、title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)差分方程與系統(tǒng)的線性非時(shí)變性一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性時(shí)不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)如果是因果的系統(tǒng)，一般在輸入x(n)=0(n

10、(2)令x(n)=?(n-1)，系統(tǒng)輸出為y2(n)=an-1u(n-1)(3)令x(n)=?