2018.05.28 方法精講-數(shù)量4 牟立志 （筆記）

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1、方法精講-數(shù)量4主講教師：牟立志授課時(shí)間：2018.05.28粉筆公考·官方微信方法精講-數(shù)量4（筆記）第八節(jié)容斥原理【注意】今天是數(shù)量關(guān)系最后一節(jié)課程，講容斥問(wèn)題和高頻的幾何問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系在考試中很有用，最后一天與之前的課程沒(méi)有什么大的關(guān)聯(lián)，保持初心，掌握知識(shí)點(diǎn)，會(huì)做題即可。課前測(cè)驗(yàn)1.（2016江蘇）某班有40名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有兩道題，答對(duì)第一題的有27人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人，則兩題都答錯(cuò)的人數(shù)是（）。A.3B.5C.6D.7【解析】1.正確率還不錯(cuò)，上課認(rèn)真聽(tīng)講解過(guò)程，本道題目不難。2.（2017聯(lián)考）某單位準(zhǔn)備擴(kuò)建一矩形花圃，若將矩形花圃的

2、長(zhǎng)和寬各增加4米，則新矩形花圃的面積比原來(lái)的面積增加了40平方米。那么，原矩形花圃的周長(zhǎng)是多少？（）A.12米B.24米C.32米D.40米【解析】2.幾何問(wèn)題，正確率為83%，學(xué)完以后，這種幾何題目是必須要拿分的，做錯(cuò)的同學(xué)需要自己反思一下?！局R(shí)點(diǎn)】容斥問(wèn)題：集合與集合之間相互包容、排斥的過(guò)程，最終的目的是把重復(fù)的去掉，把遺漏的補(bǔ)回來(lái)（去重補(bǔ)漏）。1.題型：（1）兩集合；（2）三集合；（3）容斥+最值（近兩年考的比較多）。2.方法：（1）公式法；（2）畫(huà)圖法。13.公式：（1）兩集合公式：①例子：假設(shè)咱班同學(xué)為一個(gè)大整體，有兩個(gè)集合A和B，集合A代表喜歡志哥的同學(xué)，有10人

3、，集合B代表喜歡高照老師的同學(xué)，有100人，既喜歡志哥又喜歡高照的有1人，其余白色空白部分代表有100人喜歡唐宋老師。中間有1人重復(fù)，總數(shù)=10+100+100-1=209。②公式：全部=A+B-A∩B+都不。（2）三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：①滿(mǎn)足的條件：給出A∩B、B∩C、A∩C這樣的條件（分別給出兩兩集合的交集）。如圖，需要求總體，其中A∩B加了兩次，只要一次，因此需要減掉一次，同理B∩C、A∩C也需要減掉一次。中間部分A∩B∩C，在A+B+C時(shí)分別加了一次，共加了三次，在減去A∩B、B∩C、A∩C時(shí)減掉了三次，因此需要再加一次。②公式：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A

4、∩B∩C+都不。（3）三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式：①出現(xiàn)滿(mǎn)足兩種、滿(mǎn)足三種的表述。2如上圖，出現(xiàn)兩層的部分，涂成藍(lán)色的部分屬于滿(mǎn)足兩種的部分，滿(mǎn)足兩種表示的是只滿(mǎn)足兩種的。滿(mǎn)足三種表示的是A∩B∩C，此時(shí)利用非標(biāo)準(zhǔn)公式來(lái)做題。滿(mǎn)足兩種一共加了兩次，減去一次，滿(mǎn)足三種的在A+B+C時(shí)分別加了一次，需要減去兩次。②公式：全部=A+B+C-滿(mǎn)足兩種-2*A∩B∩C（三者都滿(mǎn)足）+都不。4.總結(jié)：（1）兩集合公式：全部=A+B-A∩B+都不。（2）三集合公式：①標(biāo)準(zhǔn)：給出A∩B、B∩C、A∩C這樣的表述（出現(xiàn)兩兩集合的交集），公式：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+都不。②

5、非標(biāo)準(zhǔn)：出現(xiàn)滿(mǎn)足兩種，滿(mǎn)足三種這樣的表述，公式：全部=A+B+C-滿(mǎn)足兩種-2*A∩B∩C（三者都滿(mǎn)足）+都不。例1（2016江蘇）某班有40名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有兩道題，答對(duì)第一題的有27人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人，則兩題都答錯(cuò)的人數(shù)是（）。A.3B.5C.6D.73【解析】例1.有包容重復(fù)的，兩道題目，兩集合問(wèn)題。兩集合容斥問(wèn)題公式：全部=A+B-A∩B+都不滿(mǎn)足，設(shè)兩題都答錯(cuò)的為x人，代入數(shù)據(jù)，40=27+23-15+x，利用尾數(shù)計(jì)算，尾數(shù)為0=5+？，因此兩題都錯(cuò)的人數(shù)尾數(shù)為5?！具xB】【知識(shí)點(diǎn)】容斥問(wèn)題的方法選擇：1.公式法：題目中所給所求都是公

6、式中的一部分，用公式。2.畫(huà)圖法：題目中所給所求公式里面沒(méi)有，公式法用不了，用畫(huà)圖法。3.三步走：（1）第一步：畫(huà)圖。（2）第二步：標(biāo)數(shù)字，從里往外標(biāo)，保證每部分都是一層。（3）第三步：列式計(jì)算，尾數(shù)法。例2（2014國(guó)考）工廠組織職工參加周末公益活動(dòng)，有80%的職工報(bào)名參加，報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2：1，兩天的活動(dòng)都報(bào)名參加的為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的50%，問(wèn)未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)的（）。A.20%B.30%C.40%D.50%【解析】例2.有相互交叉重疊的部分，容斥問(wèn)題，分成周六和周日，兩集合容斥問(wèn)題，出現(xiàn)只報(bào)名參加周

7、六的人數(shù)，不能用公式法。采用畫(huà)圖法，三步走：（1）第一步：畫(huà)圖；如圖所示。（2）第二步：標(biāo)數(shù)字，從里往外標(biāo)，從交集開(kāi)始標(biāo)數(shù)字，題目未給出數(shù)值，賦值。假設(shè)兩天都參加人數(shù)為1人，則只參加周日活動(dòng)為2人，那么周日參加總?cè)藬?shù)為2+1=3人，已知報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2：1，則周六參加人數(shù)為3*2=6人，只參加周六活動(dòng)為6-1=5人。4（3）第三步：列式計(jì)算，報(bào)名參加活動(dòng)的總?cè)藬?shù)為5+1+2=8人。80%的職工報(bào)名參加活動(dòng)，總?cè)藬?shù)=8/80%=10人，則未報(bào)名參加活動(dòng)的有1