20110702183-劉巍-矩陣論報告

《20110702183-劉巍-矩陣論報告》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、矩陣論報告——排污問題20110702183-劉巍-2011級機設(shè)2班《矩陣論》課程課外報告排污問題的矩陣方法求解姓名：劉巍學(xué)號：20110702183學(xué)院：機械工程學(xué)院3矩陣論報告——排污問題20110702183-劉巍-2011級機設(shè)2班排污問題的矩陣方法求解劉?。C械工程學(xué)院20110702183）摘要：本文采用矩陣函數(shù)在微分方程組中的應(yīng)用來解決問題描述中所提到的排污問題。通過分析得出結(jié)論：第三桶的污水排的最快，其次是第二桶，最慢的是第一桶，它們都以指數(shù)的方式衰減。1問題描述考慮體積均為V加侖的三個裝滿臟水的桶剛開始在編

2、號為i的桶里面含有污染物ci磅。為了排除污染物，所有的水龍頭同時打開，使得新鮮水以r加侖/秒得速度流進(jìn)3號桶頂部，同時在它的底部的龍頭也以r加侖/秒得速度流進(jìn)2號桶頂部，而2號桶的底部的龍頭同時也以r加侖/秒得速度流進(jìn)1號桶頂部，最后1號桶的底部以r加侖/秒的速度把水排向其他地方。當(dāng)水龍頭開后，在任何有限時間t>0時，每個箱子中含污物有多少磅？直觀上可由下圖1表示：圖1排污示意圖2問題分析我們設(shè)第i桶在t時刻含有污染物為,則在t+Δt時刻含有污物為i桶本有的加上第i+1桶流進(jìn)的然后減去i桶流到i-1桶的污物，將其表達(dá)成如式（1

3、）：（1）把方程（1）化簡并兩邊取極限得式（2）：3矩陣論報告——排污問題20110702183-劉巍-2011級機設(shè)2班（2）即（3）根據(jù)題目條件及（3）式分別寫出各桶在t時刻所含的污染物：（4）將（4）式寫成矩陣形式有：（5）式中：A=，X=其初始條件為X(0)=由矩陣論知識知道關(guān)于（5）式的一階線性常系數(shù)微分方程組有且有惟一解：（6）現(xiàn)在求A的特征值=容易驗證，所以A的最小多項式為：可設(shè)（7）由此可得線性方程組：3矩陣論報告——排污問題20110702183-劉巍-2011級機設(shè)2班解此方程組得：（8）將式（8）代入式（

4、7）得：（9）將式（9）代入式（6）中得：X=（10）將式（10）解得：（11）由此求得在任意t>0時候各桶所含污染物的含量。3結(jié)論由式（11）可得出如下結(jié)論：（1）各桶污染物含量隨時間呈指數(shù)衰減，衰減的速度取決于各桶初始污物含量和-r/v的值；（2）總的來說，第3桶中污物含量減少速度的最快，其次是第2桶，最后是第1桶。3