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《線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性本章主要介紹定性分析方法，即對決定系統(tǒng)運動行為和綜合系統(tǒng)結構有重要意義的關鍵性質(zhì)（如可控性、可觀測性、穩(wěn)定性等）進行定性研究。在線性系統(tǒng)的定性分析中，一個很重要的內(nèi)容是關于系統(tǒng)的可控性、可觀測性分析。系統(tǒng)的可控、可觀測性是由卡爾曼于60年代首先提出的，事后被證明這是系統(tǒng)的兩個基本結構屬性。本章首先給出可控性、可觀測性的嚴格的數(shù)學定義，然后導出判別線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性的各種準則，這些判別準則無論在理論分析中還是在實際應用中都是很有用的。13.1可控性和可觀測性的定義3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可
2、控性判據(jù)（※）3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)（※）3.4對偶原理第三章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性23.1可控性和可觀測性的定義一．可控性與可觀測性的物理概念系統(tǒng)的可控性和可觀性，就是指系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可以由輸入影響和是否可由輸出反映。如果系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)的運動都可由輸入來影響和控制而由任意的初始狀態(tài)達到原點，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切的說是狀態(tài)可控的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控。如果系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)變量的任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可觀測的，或
3、簡稱為系統(tǒng)不可觀測。3例3-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結構圖表明：通過控制量u可以控制狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測。圖3-1系統(tǒng)結構圖4二．可控性定義1．狀態(tài)可控考慮n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如果對取定初始時刻的一個非零初始狀態(tài)x(t0)=x0，存在一個時刻和一個無約束的容許控制u(t)，，使狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到t1時的x(t1)=0，則稱此x0是在時刻t0可控的.52．系統(tǒng)可控如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（）時刻可控的，則稱系統(tǒng)
4、在時刻t0是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。考慮n維線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程63．系統(tǒng)不完全可控對于線性時變系統(tǒng)取定初始時刻，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。74．狀態(tài)可達與系統(tǒng)可達對于線性時變系統(tǒng)若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時刻可達的。若xf對所有時刻都是可達的，則稱狀態(tài)xf為完全可達到或一致可達。若系統(tǒng)對于狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都是時刻t0
5、可達的，則稱該系統(tǒng)是t0時刻完全可達的，或簡稱系統(tǒng)是t0時刻可達的。8三．可觀測性定義1．系統(tǒng)完全可觀測對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻，存在一個有限時刻,對于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內(nèi)是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切t1>t0系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在[t0,∞)內(nèi)是完全可觀測的。92．系統(tǒng)不可觀測對于線性時變系統(tǒng)如果取定初始時刻，存在一個有限時刻,對于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一個狀態(tài)的初
6、值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內(nèi)是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。103.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)(※)一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）1．格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：存在一個有限時刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。注意：在應用該判據(jù)時需計算eAt，這在A的維數(shù)較高時并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。11證：充分性：已知W(0,t1)為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構造法來證明。對任一非零初始狀態(tài)x0可構造控制u(t)為：則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t
7、1時刻的結果:這表明：對任一取定的初始狀態(tài)x0≠0，都存在有限時刻t1>0和控制u(t)，使狀態(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時刻的狀態(tài)x(t1)=0，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。12必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0,t1)非奇異。反設W(0,t1)為奇異，即存在某個非零向量，使其中
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11、為范數(shù)，故其必為非負。欲使上式成立，必有13因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對此非零向量應有0此結果與假設相矛盾，即W(0,t1)為奇異的反設不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控，W(0,t1)必為非奇異。142．秩判據(jù)（※）1）凱萊-哈密爾頓定理：設n階矩陣A的
12、特征多項式為則矩陣A滿足其特征方程，即2）推論1：矩陣A的k(k≥n)次冪可表示為A的(n-1)階多項式注：此推論可用以簡化矩陣冪的計算。153）推論2：矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為A的(n-1)階多項式例3-4：已知，計算A100=?解：A的特征多項式為：由凱萊-哈密頓定理，得到1
