線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性

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1、9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性動態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測性是揭示動態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個重要的基本結(jié)構(gòu)特性?？柭?0年代初首先提出狀態(tài)可控性和可觀測性。其后的發(fā)展表明,這兩個概念對回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問題,對于控制和狀態(tài)估計(jì)問題的研究,有著極其重要的意義。系統(tǒng)可控性指的是控制作用對被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性?？捎^測性反映由能直接測量的輸入輸出的量測值來確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經(jīng)典控制理論沒有涉及到可控性和可觀測性問題?這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是SISO系統(tǒng)

2、輸入輸出的分析和綜合問題,它的輸入輸出間的動態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,給定輸入,則一定會存在唯一的輸出與之對應(yīng)。反之,對期望輸出信號,總可找到相應(yīng)的輸入信號(即控制量)使系統(tǒng)輸出按要求進(jìn)行控制,不存在能否控制的問題。此外,輸出一般是可直接測量,不然,則應(yīng)能間接測量。否則,就無從進(jìn)行反饋控制和考核系統(tǒng)所達(dá)到的性能指標(biāo)。因此,在這里不存在輸出能否測量(觀測)的問題。所以,無論是從理論還是實(shí)踐,經(jīng)典控制理論和技術(shù)一般不涉及到能否控制和能否觀測的問題?，F(xiàn)代控制理論中著眼于對表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動態(tài)變化的狀

3、態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問題。此外,狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動態(tài)變化的一組內(nèi)部變量,有時并不能直接測量或間接測量,故存在能否利用可測量或觀測的輸入輸出的信息來構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問題。一、線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)可控的基本含義,然后再引出狀態(tài)可控性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對于理解可控性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。1.可控性的直觀討論狀態(tài)可控性反映輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力。如果狀態(tài)變量x(t)由任

4、意初始時刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動都能由輸入(控制項(xiàng))來影響,并能在有限時間內(nèi)控制到空間原點(diǎn),那么稱系統(tǒng)是可控的,或者更確切地說,是狀態(tài)可控的。否則,就稱系統(tǒng)為不完全可控的。下面通過實(shí)例來說明可控性的意義。該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對兩個狀態(tài)變量的控制能力。例某電橋系統(tǒng)的模型如圖1所示。圖1電橋系統(tǒng)由電路理論知識可知,若圖1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的,電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t

5、)是不可控的,則系統(tǒng)是不完全可控的。若圖1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是可控的。由狀態(tài)空間模型來看,當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時,可得如下狀態(tài)方程:由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即電橋中電容C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時間內(nèi)衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點(diǎn)。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不可控的。例某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖2所示,其截面積均為A,它們通過閥門

6、O均勻地輸入等量液體,即其流量QO相同。圖2并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)當(dāng)閥門1和2的開度不變時,設(shè)它們在平衡工作點(diǎn)鄰域閥門阻力相等并可視為常數(shù),記為R。圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。該雙水槽系統(tǒng)的狀態(tài)可控性可分析如下:對本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。下面僅考慮流量QO的變化量?QO所引起的水槽水位的變化。由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度)的關(guān)系,有其中?代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。選上述方程中變化量?h1和?h2為狀態(tài)變量,將

7、狀態(tài)變量帶入方程中并消去中間變量?Q1和?Q2消去,則有解上述狀態(tài)方程,可得由上述解可知,當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)不等時,則x1(t)和x2(t)的狀態(tài)軌跡完全不相同,即在有限時間內(nèi)兩條狀態(tài)軌線不相交。因此,對該系統(tǒng),無論如何控制流入的流量?QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量?h1(t)和?h2(t)在有限時間內(nèi)同時為零,即液面高度不完全能進(jìn)行任意控制。上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說明了可控性的基本含義,可控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個例子說明。例:給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,狀態(tài)

8、變量x1的運(yùn)動只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無關(guān),即輸入u(t)不可控制x1(t)的運(yùn)動,而且x1(t)不能在有限時間內(nèi)衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不可控,則整個系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。1/s-1-21/s由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨(dú)控制,可以說,x1(t)和x1(t)都是單獨(dú)可控的。對該狀態(tài)方程求解