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1、線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性可控性和可觀測性的概念第三節(jié)介紹了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本節(jié)接著介紹系統(tǒng)另外兩個重要特性，即系統(tǒng)的可控性和可觀測性，這兩個特性是經(jīng)典控制理論所沒有的。在用傳遞函數(shù)描述的經(jīng)典控制系統(tǒng)中，輸出量一般是可控的和可以被測量的，因而不需要特別地提及可控性及可觀測性的概念?，F(xiàn)代控制理論用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸出和輸入構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，系統(tǒng)就好比是一塊集成電路芯片，內(nèi)部結(jié)構(gòu)可能十分復雜，物理量很多，而外部只有少數(shù)幾個引腳，對電路內(nèi)部物理量的控制和觀測都只能通過這為數(shù)不多的幾個引腳進行。這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否都受輸入控制
2、和所有狀態(tài)是否都可以從輸出反映出來的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運動都可以通過有限的控制點的輸入來使其由任意的初態(tài)達到任意設(shè)定的終態(tài)，則稱系統(tǒng)是可控的，更確切的說是狀態(tài)可控的；否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，簡稱為系統(tǒng)不可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量任意形式的運動均可由有限測量點的輸出完全確定出來，則稱系統(tǒng)是可觀測的，簡稱為系統(tǒng)可觀測；反之，則稱系統(tǒng)是不完全可觀測的，簡稱為系統(tǒng)不可觀測?？煽匦耘c可觀測性的概念，是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)引伸出來的新概念，在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用?？煽匦浴⒖捎^測性與穩(wěn)定性是現(xiàn)代控制系統(tǒng)的三大基本特性。
3、下面舉幾個例子直觀地說明系統(tǒng)的可控性和可觀測性。（a）(b)(c)圖8-20電路系統(tǒng)可控性和可觀測性的直觀判別對圖8-20所示的結(jié)構(gòu)圖，其中圖（a）顯見受的控制，但與無關(guān)，故系統(tǒng)不可控。系統(tǒng)輸出量=，但是受影響的，能間接獲得的信息，故系統(tǒng)是可觀測的。圖（b）中的、,均受的控制，故系統(tǒng)可控，但與無關(guān)，故系統(tǒng)不可觀測。圖（c）中的、均受u的控制，且在中均能觀測到、，故系統(tǒng)是可控可觀測的。只有少數(shù)簡單的系統(tǒng)可以從結(jié)構(gòu)圖或信號流圖直接判別系統(tǒng)的可控性與可觀測性，如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜，就只能借助于數(shù)學方法進行分析與研究，才能得到正確的結(jié)論。8.4.2線性定常系統(tǒng)的可控性可控性分
4、為狀態(tài)可控性和輸出可控性，若不特別指明，一般指狀態(tài)可控性。狀態(tài)可控性只與狀態(tài)方程有關(guān)，與輸出方程無關(guān)。下面分別對離散、連續(xù)定常系統(tǒng)的可控性加以研究，先從單輸入離散系統(tǒng)入手。1.離散系統(tǒng)的可控性（1）單輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性n階單輸入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可控性定義為：在有限時間間隔內(nèi)，存在無約束的階梯控制序列u（0），…，u（n-1），能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x（0）轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)x（n），則稱該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，簡稱可控。下面導出系統(tǒng)可控性的條件，設(shè)單輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程為（8-87）其解為（8-88）定義（8-89）由于和取值都可以是任意的，因此的取值也可以是任意的。將
5、(8-89)寫成矩陣形式，有（8-90）記（8-91）稱(方陣為單輸入離散系統(tǒng)的可控性矩陣。式（8-90）是一個非齊次線性方程組，個方程中有個未知數(shù)u(0),，由線性方程組解的存在定理可知，當矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等時，方程組有解（在此尚有惟一解），否則無解。注意到在為任意的情況下，要使方程組有解的充分必要條件是：矩陣滿秩，即（8-92）或矩陣的行列式不為零，或矩陣是非奇異的，即（8-93）式（8-92）和式（8-93）都稱為可控性判據(jù)。當rankS1＜n時，系統(tǒng)不可控，表示不存在能使任意轉(zhuǎn)移至任意的控制。從以上推導看出，狀態(tài)可控性取決于和g，當不受約束時，可控
6、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程至多以個采樣周期便可以完成，有時狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程還可能少于個采樣周期。上述過程不僅導出了單輸入離散系統(tǒng)可控性條件，而且式（8-90）還給出了求取控制輸入的具體方法。（2）多輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為（8-94）可控性矩陣為（8-95）（8-96）該陣為矩陣，由于列向量構(gòu)成的控制列向量是維的。式（8-96）含有個方程和個待求的控制量。由于是任意的，根據(jù)解存在定理，矩陣的秩為時，方程組才有解。于是多輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是rank（8-97）或（8-98）的行數(shù)總小于列數(shù)，在
7、列寫時，若能知道的秩為，便不必把的其余列都計算和列寫出來。另外，用（8-98）計算一次階行列式便可確定可控性了，這比可能需要多次計算的階行列式要簡單些。多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程一般可少于個采樣周期（例8-31）。例8-20設(shè)單輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)方程為試判斷可控性；若初始狀態(tài)，確定使的控制序列,,；研究使的可能性。解由題意知rank=故該系統(tǒng)可控。按式（8-96）求出,,。下面則用遞推法來求控制。令k=0，1，2，可得狀態(tài)序列令，即解下列方程組其系數(shù)矩陣即可控性矩陣S1，它的非奇異性可給出如下的解若令，即解下列方程組容易看出其系數(shù)矩陣的秩為2，但增
8、廣矩陣的秩
