類比推理與演繹推理

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1、2.1.1合情推理與演繹推理歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程:3+7=10,3+17=20,13+17=30,10=3+7,20=3+17,30=13+17.偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)6=3+3,⑴一個(gè)偶數(shù)(不小于6)總可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和;⑵沒有發(fā)現(xiàn)反例。8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…,1000=29+971,…歸納推理的定義:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分

2、到整體、由個(gè)別到一般的推理。例如:金、銀、銅、鐵受熱后體積膨脹。它們是金屬的部分小類對(duì)象,受熱后分子的凝聚力減弱,分子運(yùn)動(dòng)加速,分子彼此距離加大,從而導(dǎo)致體積膨脹。所以,所有的金屬受熱后都體積膨脹。歸納推理的一般步驟⑴對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理;⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,即猜想;⑶檢驗(yàn)猜想。例1、已知數(shù)列{an}中,a1=1,且試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。費(fèi)馬猜想:任何形如(n∈N*)的數(shù)都是質(zhì)數(shù).注意:歸納推理僅是猜想,其結(jié)論不一定正確反例:可能存在生命這種由兩類對(duì)象具有某些類似特征,和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出

3、另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比).簡(jiǎn)言之,類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的定義⑴找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征;⑵用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)猜想;⑶檢驗(yàn)猜想。觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論類比推理的一般步驟例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義:到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長(zhǎng)面積球截面圓大圓表面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等;與

4、圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心課本P72探究:類比推理舉例可以從不同角度確定類比對(duì)象:構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目:四面體三角形直角三角形∠C=90°3個(gè)邊的長(zhǎng)度a,b,c2條直角邊a,b和1條斜邊c

5、例3、類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.3個(gè)面兩兩垂直的四面體∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°4個(gè)面的面積S1,S2,S3和S3個(gè)“直角面”S1,S2,S3和1個(gè)“斜面”S2.1.2演繹推理因?yàn)閠anα三角函數(shù),觀察與思考1.所有的金屬都能導(dǎo)電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,3.三角函數(shù)都是周期函數(shù),4.全等的三角形面積相等所以銅能夠?qū)щ?因?yàn)殂~是金屬,所以(2100+1)不能被2整除.因?yàn)?2100+1)是奇數(shù),所以是tanα期函數(shù)那么三角形ABC與三角形A1B1C1面積相等.如果三角形ABC與三

6、角形A1B1C1全等,大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理稱為演繹推理.注:1.演繹推理是由一般到特殊的推理;2.“三段論”是演繹推理的一般模式;包括 ?、糯笄疤?--已知的一般原理;⑵小前提---所研究的特殊情況⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.2.“三段論”是演繹推理的一般模式;包括⑴大前提---已知的一般原理;⑵小前提---所研究的特殊情況;⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點(diǎn)來理解:若集合M的所有元素都具有性

7、質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSa例4.如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求證:AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.ADECMB(1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABD是直角三角形(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn),DM是斜邊上的中線所以DM=AB同理EM=AB所以DM=EM大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論證明:例:證明函數(shù)f(x)=-x2+

8、2x在(-∞,1]上是增函數(shù).滿足對(duì)于任意x1,x2∈D,若x1

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