§9.10 多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)

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1、§9.10研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)（1）教學(xué)目標(biāo)：1.通過探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程，學(xué)會(huì)提出問題和明確探索方向，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力；2.體會(huì)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作，掌握“實(shí)驗(yàn)－歸納－猜想－證明”的研究方法；3.通過介紹數(shù)學(xué)家歐拉的業(yè)績，激發(fā)學(xué)生獻(xiàn)身科學(xué)、勇于探索創(chuàng)新的精神.教學(xué)重點(diǎn)：如何發(fā)現(xiàn)歐拉公式教學(xué)難點(diǎn)：怎樣證明歐拉公式教學(xué)過程：1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家.如圖，C60是由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，它是一個(gè)形如足球的多面體.這個(gè)多面體有

2、60個(gè)頂點(diǎn)，以每一頂點(diǎn)為一端點(diǎn)都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，你能計(jì)算出C60中有多少個(gè)五邊形和六邊形嗎？要解決上述問題，就必須弄清多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關(guān)系.我們知道，在平面多邊形中，多邊形的邊數(shù)b，頂點(diǎn)數(shù)d之間有關(guān)系b=d；而多面體是多邊形在空間的類似，那么在多面體中，它的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間有類似的規(guī)律嗎？2.實(shí)驗(yàn)探索，歸納猜想讓我們先觀察幾個(gè)簡單的多面體，填寫下表：多面體FVE四面體446正方體6812五棱柱71015四棱錐558非凸多面體6610正八面體8612“屋頂”體9916截頂立方體710

3、15（電腦顯示各多面體，學(xué)生數(shù)數(shù)填表）問題1：你能從增減性的角度揭示頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關(guān)系嗎？（1）由表中數(shù)據(jù)，當(dāng)我們把正方體和八面體對比時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，面數(shù)增加，頂點(diǎn)數(shù)反而減少，而棱數(shù)未變。并且五棱柱與八面體對比時(shí)，面數(shù)增加，頂點(diǎn)數(shù)和棱都減少，即V、E并不隨F增大而增大，同時(shí)指出：V與E同增減的結(jié)論也不對；（2）對比正方體與八面體時(shí)，發(fā)現(xiàn)E未變，但F與V的數(shù)值互換，即：立方體：F=6，V=8，E=12正八面體：F=8，V=6，E=12。這說明了什么？好像隱約透露出某種聯(lián)系.為了弄清這個(gè)問題，整理資料，將上表按E增加的順

4、序重排，得：多面體FVE四面體446四棱錐558非凸多面體6610正方體6812正八面體8612五棱柱71015截頂立方體71015“屋頂”體9916觀察上表可知：F、V單個(gè)看，雖不總是因E的增加而增加，但“總體”看來，卻是F+V隨E的增加而增加。引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)量”角度尋找更精確的規(guī)律，從而不難得出一個(gè)漂亮的猜想：對任何多面體，面數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)之和，等于棱數(shù)加2；即：V+F=E+2。注：盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，體驗(yàn)不斷矯正，逐步完善的猜想歷程。（3）檢驗(yàn)猜想（i）從有限到無限的檢驗(yàn)以上8種多面體對于無限多個(gè)多面體來說，無

5、異是滄海一粟，能否尋找到更多的支持呢？問題2：能不能找到一系列或無限多個(gè)證據(jù)來說明上述猜想呢？用最常見的n棱柱和n棱錐（n=3，4，5，…）檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列成下表：多面體FVEn棱錐n+1n+12nn棱柱n+22n3n則對n棱錐來說，F(xiàn)+V=（n+1）+（n+1）=2n+2=E+2，對n棱柱來說，F(xiàn)+V=（n+2）+2n=3n+2=E+2，公式都成立；于是，猜想在兩系列的無限多個(gè)多面體上被證實(shí)；這樣，我們的信心又增加了，而且增加的幅度很大。（ii）在變化中檢驗(yàn)猜想審視前面檢驗(yàn)過的多面體，一共有3類：一類是棱柱，一類是棱錐

6、，由（i）對任意n棱柱和n棱錐猜想都成立.還有一類是正八面體、“屋頂”體和截頂立方體，不難發(fā)現(xiàn)，正八面體、“屋頂”體可看成“構(gòu)造方式”相同的：它們分別是在棱柱或棱錐底面上“安裝”一個(gè)“頂”形成的，而截頂立方體則是截“頂”得到的，那么能否將猜想作進(jìn)一步的檢驗(yàn)?zāi)?？即：問題3：對多面體“裝頂”、“截頂”后猜想是否還成立呢？師生共同探討：先看“裝頂”情形.不妨設(shè)我們裝的“頂”是n棱錐，那么在一般情形下，它失去一個(gè)面（選定裝頂?shù)拿妫?，而增加了n個(gè)面，又增加了一個(gè)頂點(diǎn)和n條棱，若原多面體的面、頂、棱數(shù)分別為F、V、E，則“裝頂”多面

7、體的面、頂、棱數(shù)分別為：F，=F－1＋n，V′=V＋1，E′=E＋n；若F＋V=E＋2，即F－E＋V=2成立，那么F，－E，＋V，=（F－1＋n）－（E＋n）＋（V＋1）=F－E＋V=2，即F，＋V，=E，＋2也成立。對于“截頂”情形.若以截去的一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有n條，則原多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E分別變?yōu)椋篎，=F＋1，V′=V＋n－1，E′=E＋n；若F－E＋V=2成立，那么F，－E，＋V，=（F＋1）－（E＋n）＋（V＋n－1=F－E＋V=2，即F，＋V，=E，＋2也成立。我們的猜想終于經(jīng)受住了“截頂”和“

8、裝頂”兩種變化的考驗(yàn)，這是一次相當(dāng)嚴(yán)峻的考驗(yàn)。這很自然地被看成是對猜想成立的極為有利的證據(jù).注：成熟的科學(xué)家，不輕易下結(jié)論；對一些在很多情況被證實(shí)了的規(guī)律性，他們?nèi)员硎緫岩伞榱藱z驗(yàn)其正確性，還要進(jìn)一步搜集資料，或設(shè)計(jì)新的實(shí)驗(yàn)，我們也要這樣做。（iii）尋找猜想不成立的證據(jù)至此，對一系列同類型的多面體的反復(fù)檢驗(yàn)已無多