如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系

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1、如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（525349）廣東信宜西江中學(xué)王位高Wwg138@163.com13326569580引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一．下面通過舉例分析建立空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)方法．一、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系，再寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo)．例1、在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并且寫出點(diǎn)A、C、

2、M、N的坐標(biāo)。分析：本題中，可以以點(diǎn)D為原點(diǎn)，交于點(diǎn)D的三條直線、、為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系。解：建立如下圖所示坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，點(diǎn)A在軸上，且，它的橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零，則A（1，0，0），同樣地，點(diǎn)C在軸上，它的縱坐標(biāo)是1，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零,則C（0，1，0），M點(diǎn)在面的射影是，因此M同的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同，又M為A1B1的中點(diǎn)，故其縱坐標(biāo)值為，故M（1，，1），同理可得N（1，1，）.4點(diǎn)評：對于正方體和長方體，可以直接建立右手直角坐標(biāo)系，再根據(jù)棱長寫出各點(diǎn)坐標(biāo)。例2、如下圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△

3、ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).分析：由題意可知，直線、、兩兩垂直，故可以以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線、、為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。解：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線為坐標(biāo)軸，、為坐標(biāo)軸、為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。點(diǎn)A在軸上，且，它的橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零，則A（1，0，0），同樣地，點(diǎn)B在軸上，它的縱坐標(biāo)是1，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零,則B（0，1，0），M點(diǎn)在面的射影是，因此M同的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同，又M為A1B1的中點(diǎn)，故其縱坐標(biāo)值為，故M（1，，1），同理可得N（1，1，）.點(diǎn)評：對于直棱柱，如果已知條件中出現(xiàn)三條

4、兩兩垂直的棱，可以直接建立右手直角坐標(biāo)系，再根據(jù)棱的長度寫出各點(diǎn)坐標(biāo)。二、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo)。例3、已知兩個(gè)正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都為2，AB＝4,4兩個(gè)正四棱錐底面重合，試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)．QBCPAD分析：連結(jié)AC、BD，設(shè).由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.又因?yàn)檎叫螌蔷€與互相垂直

5、，故可以得到、、三條直線兩兩互相垂直，從而可以建立空間直角坐標(biāo)系。解：由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.QBCPADzyxO由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），D（0，－，0）Q（0，0，－2），.　　點(diǎn)評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)容易得出．三、利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立

6、坐標(biāo)系，再寫出空間點(diǎn)的坐標(biāo)。例4、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A1、C1、A1B1的中點(diǎn)M的坐標(biāo).分析：兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么過其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作它的交線的垂線與另一個(gè)平面垂直，故由題意，過點(diǎn)A作AB直線的垂線，并且以該直線為Ox軸，可以建立空間直角坐標(biāo)系。解：如下圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，容易得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），下面重點(diǎn)談?wù)?/p>

7、如何計(jì)算點(diǎn)C的坐標(biāo)，在平面ABC中，過點(diǎn)C作直線AB的垂線CD交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作4的垂線于點(diǎn)E,則在等邊三角形ABC中，，，從而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)為，豎坐標(biāo)為零，故C（），點(diǎn)C是C1在平面ABC的射影，故得C1（）。A1B1的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，a）。點(diǎn)評：利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系，要通過幾何知識(shí)或三角函數(shù)知識(shí)求出一些線段的長度，再根據(jù)點(diǎn)的位置寫出其坐標(biāo)。4