孫穎 公理化論文

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1、學(xué)公理化方法之感08數(shù)教1班孫穎02050130818所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定?！　」砘椒芟到y(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展。現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征。公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里斯多德的完全

2、三段論到歐幾里得《幾何原本》的問(wèn)世．大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng)。　　亞里斯多德的思想方法深深地影響了當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得．歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》．他從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概

3、念和公理．他總結(jié)概括出14個(gè)基本命題，其中有5個(gè)公設(shè)和9條公理，然后由此出發(fā)，運(yùn)用演繹方法將當(dāng)時(shí)所知的全部幾何學(xué)知識(shí)推演出來(lái)，整理成為演繹體系．《幾何原本》一書(shū)把亞里斯多德初步總結(jié)出來(lái)的公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)，整理、總結(jié)和發(fā)展了希臘古典時(shí)期的大量數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹(shù)立了一座不朽的豐碑。公理學(xué)研究的對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”，這些對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取“點(diǎn)”、“直線”、“平面”；“在……之上”、“在……之間”、“疊合”作為初始概念．前三個(gè)概念所表示的三類(lèi)對(duì)象和后三個(gè)概念所表示的三種關(guān)

4、系就是這種幾何的論域．按照“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀點(diǎn)建立起來(lái)的公理學(xué)，稱為實(shí)質(zhì)公理學(xué)．這種公理學(xué)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范。公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系典范分別《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)?！　　稁缀卧尽冯m然開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)

5、有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過(guò)程往往依賴于圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來(lái)證明或代替．這些問(wèn)題成為后來(lái)許多數(shù)學(xué)家研究的課題，并通過(guò)這些問(wèn)題的研究，使公理化方法不斷完善，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展?！　〉谖骞O(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏象其它公設(shè)和公理那樣的說(shuō)服力，并不自明．因此，它能否正確地反映空間形式的性質(zhì)，引起了古代學(xué)者們的懷疑．從古希臘時(shí)代到公元18世紀(jì)，人們通過(guò)不同的途徑和方法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究工作，其中薩克里(Saccheri，1667—1733)和蘭勃特(Lamb

6、ert，1728-1777)等人考慮了兩個(gè)可能的與平行公設(shè)相反的假設(shè)，試圖證明出平行公設(shè)，但是他們的努力均歸于失?。欢谶@些失敗中卻引出了一串與第五公設(shè)相等價(jià)的新命題和定理，即非歐幾何的公理和定理，它預(yù)示了一種新的幾何體系可能產(chǎn)生?！　?9世紀(jì)年輕的俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來(lái)證明；其次，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在．于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，

7、引進(jìn)與第五公設(shè)相反的公理，從而構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何系統(tǒng)，它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列．后來(lái)人們又證明了這兩個(gè)部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對(duì)相容的，即假定其中之一無(wú)矛盾，則另一個(gè)必定無(wú)矛盾，這樣以來(lái)，只要這兩個(gè)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨(dú)立無(wú)關(guān)．現(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學(xué)，并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何。非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對(duì)空間形式的認(rèn)識(shí)發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過(guò)程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完

8、?！」砘椒ú粌H在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯中廣泛應(yīng)用，而且已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)學(xué)的范圍，滲透到其它自然科學(xué)領(lǐng)域甚至某些社會(huì)科學(xué)部門(mén)，并在其中起著重要作用。1、具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用　　當(dāng)一門(mén)科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性