中國(guó)剩余定理·哥德巴赫猜想(A)·哈代-李特伍德猜想(A)

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1、中國(guó)剩余定理·哥德巴赫猜想(A)·哈代－李特伍德猜想(A)Chineseremaindertheorem,Goldbachconjecture(A)Hardy-LittlewoodConjecture(A)童信平Txp1313abc@hotmail.com摘要N=pi+(N-pi)=p+(N-p)，①若p、N對(duì)模pi同余，則p不是N的哥德巴赫猜想(A)的答案；若i=1～r時(shí)，p、N對(duì)模pi皆不同余，則p和(N-p)是哥德巴赫猜想(A)的答案。②對(duì)于模p1～pr，根據(jù)中國(guó)剩余定理，可以通過(guò)建立不同的同余式組，計(jì)

2、算出不大于N的新素?cái)?shù)和哥德巴赫猜想(A)的答案。③(N-p)中必有素?cái)?shù)，哥德巴赫猜想(A)成立。同時(shí)指出，N增大，哥德巴赫猜想(A)的答案的數(shù)量增多。④討論了哈代－李特伍德猜想(A)中的細(xì)節(jié)。關(guān)鍵詞同余中國(guó)剩余定理哥德巴赫猜想(A)哈代－李特伍德猜想(A)“每一個(gè)偶復(fù)合數(shù)都可以表示為二個(gè)素?cái)?shù)之和?！报D―這就是常說(shuō)的哥德巴赫猜想(A)或偶數(shù)哥德巴赫猜想。簡(jiǎn)稱“1+1”。對(duì)于不大于偶數(shù)N的素?cái)?shù)pi和p，我們有N=pi+(N-pi)=p+(N-p)，①若p、N對(duì)模pi同余，則p不是N的“1+1”的答案；若i=1～r

3、時(shí)，p、N對(duì)模pi皆不同余，則p和(N-p)是N的“1+1”答案。②對(duì)于模p1～pr，根據(jù)中國(guó)剩余定理，可以通過(guò)建立不同的同余式組，計(jì)算出不大于N的新素?cái)?shù)以及N的“1+1”的答案。③(N-p)中必有素?cái)?shù)，“1+1”成立。同時(shí)指出，N增大，“1+1”答案的數(shù)量增多。④討論了哈代－李特伍德猜想(A)中未發(fā)現(xiàn)的細(xì)節(jié)。1名詞、術(shù)語(yǔ)、符號(hào)、引理。2N――偶數(shù)，N=2n。2≤pi≤pr＜N＜pr+1＜N＜pr+1＜p1p2…pr。pi、pr、pr+1――素?cái)?shù),i=1,2,…,r。r=π(N)。p――素?cái)?shù)。pr+1≤p≤(

4、N-pr-1)。必有(N-p)＞pr。p的數(shù)量是π(N)r=π(N-pr-1)-r。N(pi)――N被除以pi后所剩下的余數(shù)。N=N(pi)+npi，0≤N(pi)≤(pi-1)。N(pi)r――N被依次除以p1，p2，…，pi，…，pr以后，由它們的余數(shù)所組成的一組數(shù)字。記作N(pi)r=N(p1)，N(p2)，…，N(pi)，…，N(pr)。p(pi)――p被除以pi后所剩下的余數(shù)。p=p(pi)+npi，1≤p(pi)≤(pi-1)。p――全體p。我們有p=p(pi)+npi，p(pi)=1，2，…，(

5、pi-1)。(見(jiàn)引理4。)根據(jù)以上規(guī)定，N=pi+(N-pi)=p+(N-p)。實(shí)驗(yàn)證明，許多N的(N-pi)都是合數(shù)。例如，N=98、126、128等等。由此可見(jiàn)，“1+1”就是要證明(N-p)中必有素?cái)?shù)。[1]N(1,1)r―－(N-p)中的“1+1”的答案的數(shù)量(解數(shù))，也是(N-p)中的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。N(1,1)i――(N-pi)中的“1+1”的解數(shù)，也是(N-pi)中的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。N(1,1)N――N中的“1+1”的解數(shù)，N(1,1)N=N(1,1)r+2N(1,1)i。[2]2引理1若r≥4，則N＜pr

6、+1＜p1p2…pr。根據(jù)引理1，上面的規(guī)定適用于r≥4，所以，本文討論N≥50時(shí)的“1+1”的規(guī)律性。(當(dāng)2r＜4，即N＜50時(shí)，會(huì)出現(xiàn)p1p2…pr＜N＜pr+1。情況比較復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)證明“1+1”更方便。)引理2(素?cái)?shù)定理)N→∞時(shí)，π(N)～N/lnN。引理3(等差數(shù)列中的素?cái)?shù)定理)N→∞時(shí)，以l為常數(shù)、以pi為公差的等差數(shù)列l(wèi)+npi中不大于N的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(pi)～π(N)/(pi-1)。－1－引理4p=p(pi)+npi，p(pi)=1，2，…，(pi-1)。常數(shù)1，2，…出現(xiàn)的次數(shù)幾乎一樣多。證明

7、連續(xù)的正整數(shù)可以用一組等差數(shù)列0+npi，1+npi，2+npi，…，(pi-1)+npi表示。顯然，p出現(xiàn)在0+npi以外的等差數(shù)列中，根據(jù)引理3，N→∞時(shí)，其中的每一個(gè)等差數(shù)列中的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)幾乎一樣多。換句話說(shuō)，p被除以pi后產(chǎn)生的余數(shù)1，2，…，(pi-1)的數(shù)量幾乎一樣多。證畢。[3]引理5如果a是一個(gè)大于1的正整數(shù)，而所有≤a的素?cái)?shù)都除不盡a，則a是素?cái)?shù)。[4]NNNrN引理6π(N)=r-1+{{N-∑[]+∑[]-∑[]+…+(-1)[]}pipipjpipjpkp1p2…pr1≤i≤r1≤i

8、≤r1≤i