法曲率最值的直接求法

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1、第33卷第4期吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.33No.42012年7月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jul.2012文章編號(hào):10072985(2012)04001105?法曲率最值的直接求法邢家省(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191)摘要:考慮曲面上法曲率最值和最值方向的直接求法問(wèn)題,給出了直接的導(dǎo)出方法,并得到了它是特征值、特征向量的性質(zhì).關(guān)鍵詞:法曲率的最值;最值方向;特征值;特征向量中圖分類(lèi)號(hào):O186.11文獻(xiàn)標(biāo)志碼:ADOI:10.3969/j.issn.

2、10072985.2012.04.003對(duì)曲面上法曲率最值的研究,一般是通過(guò)曲面上的垂直和共扼的方向———主方向,再運(yùn)用歐拉公式證[12]明主方向上的法曲率分別是最大值和最小值,進(jìn)而引入高斯曲率和平均曲率及其計(jì)算公式.這種方法不直接,引入與轉(zhuǎn)換過(guò)程較長(zhǎng).筆者發(fā)現(xiàn),可以有更直接的方法得到法曲率最值并取到最值方向,且得到它是對(duì)應(yīng)的特征值和特征向量的性質(zhì).1法曲率的最大值、最小值的直接求法[1]曲面Σ:r=r(u,v)上一點(diǎn)P沿一方向(d)=du∶dv上的法曲率kn為22ⅡL(du)+2Mdudv+N(dv)kn==22.(1)ⅠE(du)+2Fdudv+G(dv)du現(xiàn)考慮法曲率kn的最大值

3、、最小值的求法問(wèn)題.設(shè)λ=,則有dv2Lλ+2Mλ+Nkn=.(2)2Eλ+2Fλ+G這樣一來(lái),所求問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為求二次分式的極值問(wèn)題.將(2)式化為一元二次方程Lλ222+2Mλ+N-kn(Eλ+2Fλ+G)=0,即(L-knE)λ+2(M-knF)λ+N-knG=0.此二次方程有根,當(dāng)且僅當(dāng)(M-k)2nF-(L-knE)(N-knG)≥0,2)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)≥0.-(EG-Fn+n-設(shè)k1,k2(k1≤k2)是方程2)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)=0(3)-(EG-Fn+n-的2個(gè)根,則有k1≤kn≤k2,于是kn的最大值、最小值分別為k

4、2,k1,且由方程(3)所解出.由韋達(dá)定理,可得2LN-MLG-2MF+NEk1k2=2,k1+k2=2.EG-FEG-F?收稿日期:20120530基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171013)作者簡(jiǎn)介:邢家省(1964),男,河南泌陽(yáng)人,北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授,博士,主要從事偏微分幾何、微分幾何研究.12吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第33卷2Lλ+2Mλ+N將kn=k1,k2代入kn=2,解出2個(gè)根λ2,λ1,就得到使kn達(dá)到最大值、最小值的方向.Eλ+2Fλ+G方程(3)的判別式為22F22)(LN-M2)=[(NE-LG)-(ME-LF)]Δ=(LG-2M

5、F+NE)-4(EG-F+E2)4(EG-F(ME-LF)22≥0,E故當(dāng)且僅當(dāng)NE-LG=ME-LF=0時(shí),判別式為0,即LMN==.(4)EFG滿(mǎn)足(4)式的點(diǎn)稱(chēng)為臍點(diǎn),否則稱(chēng)為非臍點(diǎn).所以,在一個(gè)非臍點(diǎn),判別式Δ>0,方程(3)總有2個(gè)不相等的實(shí)根,曲面在這一點(diǎn)總有2個(gè)不相等的法曲率,且分別是法曲率的最大值和最小值.在臍點(diǎn),若令L=λE,M=λF,N=λG,則任意方向的法曲率2kn=λ常數(shù),而方程(3)變?yōu)?kn-λ)=0,但這個(gè)關(guān)系無(wú)非表示任意方向的法曲率相等.2高斯(Gauss)曲率、平均曲率設(shè)k2,k1分別為曲面上一點(diǎn)處法曲率的最大值、最小值,則將它們的乘積k1k2稱(chēng)為曲面在

6、這一點(diǎn)的高斯(Gauss)曲率,通常以K表示,K=k1k2,它描述了曲面在一點(diǎn)處總的彎曲程度,又稱(chēng)為總曲率或全曲11率;它們的平均數(shù)(k1+k2)稱(chēng)為曲面在這一點(diǎn)的平均曲率,通常以H表示,H=(k1+k2),它描述了22曲面在一點(diǎn)處的平均彎曲程度,又稱(chēng)為中曲率.由方程(3)及韋達(dá)定理,得2LN-M1LG-2MF+NE,H=(k)=,k2K=k1k2=21+k22)n-2Hkn+K=0.EG-F22(EG-F例1求正螺面r=(ucosv,usinv,bv)的主曲率、總曲率和全曲率.解直接計(jì)算得到螺面的第一基本形式和第二基本形式分別為Ⅰ=(du)222)(dv)2,Ⅱ=+(u+b-2bdud

7、v,由此便知正螺面上所有點(diǎn)都是非臍點(diǎn),于是其上每點(diǎn)處都有2個(gè)不相等的法曲率.將基本量代22u+bⅡ2Mdudv1入法曲率的計(jì)算公式,得到k,因?yàn)?/p>

8、2Mdudv

9、≤

10、M

11、[E(du)22],n==22+G(dv)ⅠE(du)+G(dv)EG11所以-

12、M

13、≤kn≤

14、M

15、,從而正螺面上法曲率的最大值、最小值、總曲率和平均曲率分別為EGEG22bb-Mb1k2=(u22),k1=-(u22),K=k1k2==-(u22)2,H=(k1+k