函數(shù)最值的幾種求法

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1、函數(shù)最值的幾種求法新課程標(biāo)準(zhǔn)中,高中數(shù)學(xué)知識(shí)更加豐富,層次性更強(qiáng),和高等教育的結(jié)合更加緊密.要想較好的完成新課標(biāo)的教學(xué)任務(wù),必須從整體上把握課程標(biāo)準(zhǔn),運(yùn)用主線知識(shí)將高中數(shù)學(xué)知識(shí)穿成串,連成片,織成網(wǎng),才有利于學(xué)生更好的掌握,而函數(shù)的最值問題在整個(gè)高中教材中顯得非常重要,為了能系統(tǒng)的學(xué)好這方面的知識(shí),本文總結(jié)歸納出八種求函數(shù)最值的常見方法.一由定義域直接求函數(shù)的最值一次函數(shù)的最大值與最小值常與它的定義域與值域有關(guān)系,即若y是x的函數(shù),則由x的取值范圍,并且根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性,就能得到y(tǒng)的最大(小)

2、值.例1變量,,均不小于0,并滿足及,求函數(shù)的最大值與最小值.解由及得,及.又由,,均不小于0,推出.再將與代入得,,它是單調(diào)遞增函數(shù),而.所以,當(dāng)時(shí),有最小值;當(dāng)時(shí),有最大值.二用配方法求函數(shù)的最值[1]對(duì)于二次函數(shù)可以用配方法討論它的最值情況,即二次函數(shù).當(dāng)時(shí),有最小值,即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),有最大值,即當(dāng)時(shí),.例2設(shè).求和.解由得,.6又因,所以當(dāng)時(shí),有最小值;當(dāng)時(shí),有最大值.例3設(shè)在區(qū)間上最小值為,求的最大值.解對(duì)關(guān)于配方得,.由已知得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此,當(dāng)時(shí),的最大值為;當(dāng)時(shí),,且

3、的最大值為;當(dāng)時(shí),的最大值為.三用判別式法（也稱△法）求最值判別式法就是利用二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件來求出函數(shù)的最值.除了二次函數(shù),對(duì)于一些常見的含有根號(hào)的無理函數(shù),也可以利用平方法去掉根號(hào)后再根據(jù)二次函數(shù)的△法來求最值,或如果一個(gè)問題中,諸量之間的關(guān)系最后可化為以某一變量為元的二次方程的形式,便可運(yùn)用判別式來求最,但要注意函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)的制約作用.例4[2]求函數(shù)的最值,以及函數(shù)取最值時(shí)的取值.解顯然.等式兩邊平方有,移項(xiàng)再平方整理得,又由,得,又因?yàn)椴⑶?得,所以.于是當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),四換

4、元法就是通過換元把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù).這種題的特征是函數(shù)的解析式中含有根式.當(dāng)根式為一次式時(shí),用代數(shù)換元（直接換元）;當(dāng)根式是二次式時(shí),用三角換元.例5用換元法求函數(shù)的最大值（無最小值）.解令,.所以.于是當(dāng),即時(shí),.例6用三角換元法求函數(shù)的最值.解令,則.所以,原函數(shù)變?yōu)?又因?yàn)?故,所以,當(dāng),即,時(shí),取得最小值;當(dāng),,時(shí),取得最大值.五利用不等式求函數(shù)的最值基本不等式:是求函數(shù)的最值問題的重要工具.但要注意取得最值的條件“一正,二定,三相等”[3].并合理的進(jìn)行拆分和配湊,靈活變形使得

5、問題簡捷從而獲解.例7求函數(shù)的最大值.6解,而(注意,)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),有最小值2.所以,當(dāng)時(shí),原函數(shù)有最大值.六利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)尤其是函數(shù)的最值問題是強(qiáng)有力的手段.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出的所有極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn));(2)計(jì)算并比較f(x)在所有極值點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4].例8求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.解對(duì)原函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)數(shù)可得,.令,(舍去).再計(jì)算端點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)（駐點(diǎn)）處的

6、函數(shù)值得,,,,.所以,當(dāng)時(shí),原函數(shù)有最小值,當(dāng)時(shí),原函數(shù)有最大值.七數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的最值當(dāng)要求的解析式明顯具備某種幾何意義時(shí),如兩點(diǎn)間的距離公式,直線斜率,直線在坐標(biāo)軸上的截距等等.可以利用數(shù)形結(jié)合來求它的最值.例9[5]求函數(shù)的最大值和最小值.解因?yàn)?現(xiàn)令.則易知表示一定點(diǎn)A（2,0）與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)連線的斜率的大小.如（圖1）.對(duì)于L1有:,對(duì)于L2有:,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.6（圖1）（圖2）例10例4解法二.解令,,則原函數(shù)可化為.此時(shí)原問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線有公共點(diǎn)時(shí),在軸上截距的最值

7、.如(圖2).顯然可得,當(dāng)直線過（,0）點(diǎn),即時(shí),在軸上的截距取得最小值;當(dāng)直線與曲線相切,即(因?yàn)榍€上任一點(diǎn)切線斜率為,要使直線與曲線相切則,即,所以由得,.于是,)時(shí),在軸上的截距取得最大值.八構(gòu)造向量求函數(shù)最值向量具有代數(shù)和幾何的雙重性.用向量法解決代數(shù)問題的關(guān)鍵是善于觀察問題的結(jié)構(gòu),挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型,構(gòu)造合適的向量,把原有問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解,它是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法.例11在上,求函數(shù)的最值.解令向量,,則

8、,.令向量與的夾角為,再令,,則.如(圖3),向量的終點(diǎn)落在以原點(diǎn)為

9、心,為半徑的圓周上,因?yàn)榈姆菫?故兩向量的夾角,所以.從而,6,其中,,故.(圖3)所以,當(dāng)時(shí),即,其解為或（取正值,因?yàn)椋?即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),即（即向量與共線）,其解為(取正值,因?yàn)?,亦即當(dāng)時(shí),.總結(jié):通過以上幾種函數(shù)最值求法的總結(jié)歸納,可以對(duì)一些有關(guān)的題目進(jìn)行解答,尤其是一些綜合性強(qiáng)的題目,可以達(dá)到事半功倍的作用.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.幾乎可以用函數(shù)為綱,把中學(xué)數(shù)學(xué)各方面內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來,許多數(shù)學(xué)綜合題,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題進(jìn)行討論.函數(shù)是高考重點(diǎn)考查對(duì)象,而函數(shù)的最值又