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《曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第34卷第1期吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.34No.12013年1月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2013文章編號(hào):10072985(2013)01000605?曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)邢家省,王擁軍(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191)摘要:考慮曲面上法曲率最值和最值切方向的直接求法問題,給出了直接的導(dǎo)出方法,得到最值和最值切向量的特征值、特征向量的性質(zhì)和2最值切向量的正交共軛性質(zhì).關(guān)鍵詞:法曲率的最值;最值切方
2、向;特征值;特征向量;共軛正交方向;法曲率的歐拉公式中圖分類號(hào):O186.11文獻(xiàn)標(biāo)志碼:ADOI:10.3969/j.issn.10072985.2013.01.002[1]對(duì)曲面上法曲率最值的研究,一般是通過曲面上的正交和共扼的2切方向或考察Weingarten變換[23]的特征值和特征向量,再運(yùn)用法曲率的歐拉公式證明法曲率的最大值和最小值的存在性及求法,進(jìn)而[13]引入高斯曲率和平均曲率及其計(jì)算公式.在文獻(xiàn)[48]相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,筆者對(duì)法曲率的最值和最值切向量問題給出直接的求法,并由此出發(fā)給出2最值切向量的正交性和共軛性,給出最值和最值切向量的特征
3、值、特征向量的性質(zhì).1法曲率的最值和最值方向的直接求法[13]在曲面Σ:r=r(u,v)上一點(diǎn)P處,沿切方向(d)=du:dv上的法曲率kn為22ⅡL(du)+2Mdudv+N(dv)kn=kn(du,dv)==22.(1)ⅠE(du)+2Fdudv+G(dv)設(shè)n是曲面Σ在P點(diǎn)的法向量,采用文獻(xiàn)[16]中的常用記號(hào).考慮法曲率kn的最大值、最小值的直接求法問題.du令λ=,則有dv2Lλ+2Mλ+Nkn=kn(λ)=,(2)2Eλ+2Fλ+G這樣一來,關(guān)于法曲率的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次分式的最值問題.將(2)式化為一元二次方程Lλ222+2Mλ+N-kn(
4、Eλ+2Fλ+G)=0,即(L-knE)λ+2(M-knF)λ+N-knG=0,它關(guān)于λ的一元二次方程有實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)(M-k)22)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)≥0.(3)nF-(L-knE)(N-knG)=-(EG-Fn+n-設(shè)k1,k2(k1≤k2)是一元二次方程(M-k)22)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)=0(4)nF-(L-knE)(N-knG)=-(EG-Fn+n-?收稿日期:20120921基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171013)作者簡介:邢家省(1964),男,河南泌陽人,北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)
5、科學(xué)學(xué)院副教授,博士,主要從事偏微分方程、微分幾何研究.第1期邢家省,等:曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)7的2個(gè)根,由二次函數(shù)的理論,則有不等式(3)的解集為k1≤kn≤k2.2Lλ+2Mλ+N將kn=k1,k2代入kn=2,解出2個(gè)根λ2,λ1,就得到使kn取到k1,k2的方向.于是法Eλ+2Fλ+G曲率kn的最大值、最小值分別為k2,k1,且k2,k1由方程(4)所解出.根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理,可得到高斯曲率和平均曲率的計(jì)算公式.方程(4)式的判別式為22F22)(LN-M2)=[(NE-LG)-(ME-LF)]Δ=(LG-2MF+NE)-4
6、(EG-F+E2)4(EG-F(ME-LF)22≥0,E故當(dāng)且僅當(dāng)NE-LG=ME-LF=0時(shí),判別式為0,即LMN==.(5)EFG曲面上滿足(5)式的點(diǎn)稱為臍點(diǎn),否則稱為非臍點(diǎn).在一個(gè)非臍點(diǎn)處,判別式Δ>0,方程(4)總有2個(gè)不相等的實(shí)根,曲面在這一點(diǎn)總有2個(gè)不相等的法曲率,且分別是法曲率的最大值和最小值.在臍點(diǎn),若令L=cE,M=cF,N=cG,則任意方向的法曲率k(常數(shù)),而方程(4)變?yōu)?k)2n=cn-c=0,但這個(gè)關(guān)系無非表示任意方向的法曲率相等.2法曲率最值和最值方向的直接求法及最值方向的正交和共軛性[4]利用k1,k2(k1≤k2)是方程
7、(4)的2個(gè)根,給出其為法曲率的最值的另一種直接方法.由于(M-k)2iF-(L-kiE)(N-kiG)=0i=1,2,(6)注意到(L(du)22)-k(E(du)22)=+2Mdudv+N(dv)i+2Fdudv+G(dv)(L-k)(du)22iE+2(M-kiF)dudv+(N-kiG)(dv)=2?M-kiF?(L-kiE)du+dvi=1,2,(7)èL-kiE?因此可知:若L-k1E≥0,則有kn(du,dv)≥k1,若L-k1E<0,則有kn(du,dv)≤k1;同理,若L-k2E>0,則有kn(du,dv)≥k2,若L-k2E≤0,則有k
8、n(du,dv)≤k2,而k1≤k2.從而,有k1≤kn(du,d
