無(wú)失效數(shù)據(jù)失效概率的Bayes 估計(jì)

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1、第15卷第4期工　科　數(shù)　學(xué)Vol.15,No.41999年8月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYAug.19993無(wú)失效數(shù)據(jù)失效概率的Bayes估計(jì)韓　明(寧波大學(xué),寧波315211)摘要　本文對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)(ti,ni)在ti時(shí)刻的失效概率pi=P{T

2、進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),截尾時(shí)間為ti(i=1,2,?,m),在ti處試驗(yàn)ni個(gè)樣品(i=1,2,?,m),結(jié)果所有樣品無(wú)一失效.記si=ni+?+nm,它表示在ti處還未失效的樣品數(shù).稱(ti,ni)為無(wú)失效數(shù)據(jù).自從文獻(xiàn)[1]發(fā)表以來(lái),關(guān)于無(wú)失效數(shù)據(jù)的研究逐漸引起各方面的重視,并取得了一些成果.關(guān)于無(wú)失效數(shù)據(jù)研究的若干進(jìn)展情況,見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。在文獻(xiàn)[3]中提出了一種無(wú)失效數(shù)據(jù)的分析方法——配分布曲線法,其關(guān)鍵是估計(jì)ti時(shí)刻的失效概率pi=P{T

3、在無(wú)失效情況下,失效概率pi大的可能性小,而pi小的可能性大,所以取均勻分布作為pi的先驗(yàn)分布是不太恰當(dāng)?shù)?在文獻(xiàn)[5]中,對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)問(wèn)題提出了構(gòu)造先驗(yàn)分布的方法——減函數(shù)法.根據(jù)文獻(xiàn)[3]s[5],本文結(jié)合無(wú)失效情況下pii的似然函數(shù):L(0?pi)=(1-pi)的形式,構(gòu)造了pi的一類先k驗(yàn)分布,選取pi減函數(shù)(1-pi)(k為正整數(shù))作為pi的先驗(yàn)密度的核(k的取值要根據(jù)具體問(wèn)題中的先驗(yàn)信息或Bayes估計(jì)的穩(wěn)定性來(lái)確定),并在此基礎(chǔ)上給出了pi的Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì).2pi的Bayes估計(jì)設(shè)F(t)為產(chǎn)品壽命T的分布

4、函數(shù),當(dāng)F(t)為t的凹函數(shù)時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[6]有3pmti0

5、Allrightsreserved.12　　　　　　　　　　　　　　工科數(shù)學(xué)　　　　　　　　　　　　　　第15卷k0(pi)=A(1-pi),0

6、-s+k+1.(si+k+2)[1-(1-Ki)i]證　對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)(ti,ni),i=1,2,?,m,si=ni+?+nm,若pi的先驗(yàn)密度0(pi)由(3)[3]式給出,而在無(wú)失效情況下pi的似然函數(shù)為:sL(0?pi)=(1-pi)i.根據(jù)Bayes定理,則pi的后驗(yàn)密度為:s+k0(pi)L(0?pi)(1-pi)ih(pi?si)=K=Kiis+k∫0(pi)L(0?pi)dpi∫(1-pi)idpi00s+k(si+k+1)(1-pi)i=s+k+1,1-(1-Kii)其中0

7、KKdi(si+k+1)is+kipi=pih(pi?si)dpi=s+k+1pi(1-pi)dpi∫01-(1-Ki)i∫0K(si+k+1)is+ks+k+1=[(1-piis+k+1i)-(1-pi)]dpi1-(1-Ki)i∫0s+k+2(si+k+1)[1-(1-Ki)i]=1-s+k+1.(si+k+2)[1-(1-Ki)i]1在定理1中,當(dāng)k=0時(shí),0(pi)=,0

8、定理1中pi的Bayes估計(jì)pi(i=1,2,?,m)依賴于Ki.但在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到這種情況,專家雖有先驗(yàn)信息,但不能給出Ki的具體值,只能給出Ki的一個(gè)范圍.若一定勉強(qiáng)