指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)失效率的多層Bayes 估計(jì)

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1、第15卷　第4期工　程　數(shù)　學(xué)　學(xué)　報(bào)Vol.15No.41998年11月Nov.1998JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)失效率XXX的多層Bayes估計(jì)韓　明(寧波大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,寧波315211)摘　要對(duì)指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)的失效率,在先驗(yàn)分布為Gamma分布Gamma(1,b)時(shí),給出了多層Bayes估計(jì),從而可以得到無失效數(shù)據(jù)可靠度的估計(jì)。并結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行了計(jì)算。關(guān)鍵詞　無失效數(shù)據(jù),失效率,可靠度,多層Bayes估計(jì)分類號(hào)　AMS(1991)62A15;C

2、CLO212.11　引　言在定時(shí)截尾可靠性試驗(yàn)中,有時(shí)會(huì)遇到“無失效數(shù)據(jù)”,特別是在高可靠性,小樣本問題中,更容易產(chǎn)生無失效數(shù)據(jù)。對(duì)無失效數(shù)據(jù)的可靠性研究,是近些年來遇到的一個(gè)新問題,在實(shí)際問題中迫切需要解決,這項(xiàng)工作具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。對(duì)指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)的可靠性研究,已取得了一些成果,見文獻(xiàn)[1～9]。關(guān)于無失效數(shù)據(jù)的可靠性研究的若干進(jìn)展情況,見文獻(xiàn)[10]。Raiffa和Schlaifer在文獻(xiàn)[11]中提出,先驗(yàn)分布應(yīng)選取共軛分布。Gamma分布是指數(shù)分布的共軛分布,那么Gamma分布Gamma(a

3、,b)中的先驗(yàn)參數(shù)a與b如何確定呢?Lindley和Smith在文獻(xiàn)[12]中提出了多層先驗(yàn)分布的想法,即在先驗(yàn)分布中含有超參數(shù)時(shí),可對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)分布。2　失效率的多層先驗(yàn)分布對(duì)指數(shù)分布,其密度函數(shù)為f(t)=Kexp(-Kt)t>0,K>0(1)其中K為指數(shù)分布(1)的失效率。設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布(1),現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),截尾時(shí)間為ti,X本文1997年12月1日收到。XX本課題是浙江省教委基金(編號(hào):97107)和寧波大學(xué)基金(編號(hào):962101G)資助項(xiàng)目。?1995-200

4、4TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.136工　程　數(shù)　學(xué)　學(xué)　報(bào)　　　　　　　　　　　　　第15卷i=1,2,?,m。相應(yīng)試驗(yàn)樣品數(shù)為ni,i=1,2,?,m,若試驗(yàn)的結(jié)果是所有樣品無一失效,則稱(ti,ni)為無失效數(shù)據(jù)。對(duì)指數(shù)分布(1),若失效率K的先驗(yàn)分布為Gamma分布Gamma(a,b),其密度函數(shù)為:aa-10(K?a,b)=bKexp(-bK)?#(a)(2)其中a>0,b>0,K>0,a與b為先驗(yàn)參數(shù)。在文獻(xiàn)[13]中,提出

5、了無失效時(shí)多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造方法——減函數(shù)法。在無失效情況下,失效率K大的可能性小,而K小的可能性大。因此,按文獻(xiàn)[13]應(yīng)選擇a與b使0(K?a,b)為K的減函數(shù)。從(2)式可求出0(K?a,b)對(duì)K的一階導(dǎo)數(shù)為′aa-20(K?a,b)=[bKexp(-bK)?#(a)][(a-1)-bK]′由于K>0,a>0,b>0,所以當(dāng)00時(shí),0(K?a,b)<0,即此時(shí)0(K?a,b)為K的減函數(shù)。在文獻(xiàn)[14]中,在00時(shí)給出了K的多層Bayes估計(jì)。以下討論a=1與b>0的情況,此時(shí)

6、0(K?a,b)仍為K的減函數(shù)。[15]考慮到Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性,b應(yīng)有一個(gè)界限,設(shè)c為b的上界(c為常數(shù),待定)。取(0,c)上的均勻分布作為超參數(shù)b的先驗(yàn)分布,此時(shí)b的先驗(yàn)密度為0(b)=1?c,(00。3　失效率的多層Bayes估計(jì)若K的先驗(yàn)密度0(K)由(3)式給出,由此可得定理　對(duì)壽命服從指數(shù)分布(1)的產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),結(jié)果所有樣品無一失m效,獲得的無失效數(shù)據(jù)為(ti

7、,ni),i=1,2,?,m,記N=∑niti,若K的多層先驗(yàn)密度0(K)由i=1(3)式給出,則在平方損失下K的多層Bayes估計(jì)為:dc+Ncc+NK=ln-c-NlnNc+NN證明　對(duì)壽命服從指數(shù)分布(1)的產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),若第i次定時(shí)截尾試驗(yàn)中有Xi個(gè)樣品失效,根據(jù)文獻(xiàn)[16],則Xi服從參數(shù)為nitiK的Poisson分布,則有:r(nitiK)ipi(Xi=ri)=exp(-nitiK),ri=0,1,2,?,ni,i=1,2,?,m,(ri)!則K的似然函數(shù)為(每次截尾試驗(yàn)是相互獨(dú)立的)

8、mmr(nitiK)iL(X?K)=∏pi(Xi=ri)=∏(rexp(-NK)i)!i=1i=1m其中N=∑niti。i=1對(duì)無失效情況,即ri=0,i=1,2,?,m。則有:L(0?K)=exp(-NK),此即為無失效時(shí)K的似然函數(shù)。若K的多層先驗(yàn)密度0(K)由(3)式給出,根據(jù)Bayes定理,則K為的后驗(yàn)密度為:?1995-2004TsinghuaTongfangOpticalD