預(yù)備知識：高斯隨機(jī)過程

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1、預(yù)備知識（三）高斯隨機(jī)過程通信原理第四講隨機(jī)過程（噪聲信號）示例相關(guān)函數(shù)R（t，t+?）利用隨機(jī)過程基礎(chǔ)解決通信中問題隨機(jī)過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點無關(guān)E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2R（?）如果各態(tài)歷經(jīng)用時間平均代替集平均通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件最終求出功率譜，從而獲得了頻率域上的功率分布，獲得其帶寬、功率性能，達(dá)到了研究通信系統(tǒng)的目的數(shù)字特征的計算數(shù)學(xué)期望方差相關(guān)函數(shù)2.3隨機(jī)信號分析2.3隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄

2、帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲隨機(jī)過程（噪聲信號）示例為什么研究高斯過程中心極限定理表明：一個隨機(jī)變量，如果它是很多個相互獨立的隨機(jī)變量之和，而其中每一個對總和只發(fā)生不大的影響，那么，這一總和的分布就近似于正態(tài)分布。高斯過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程。如通信中的噪聲，分子熱運動產(chǎn)生的熱噪聲等都具有高斯過程的特性。高斯過程，是研究通信信號、特別是通信噪聲的重要數(shù)學(xué)模型。高斯隨機(jī)過程：定義若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：高斯隨機(jī)過程：重要性質(zhì)高斯過程的n維分布完全由n個隨機(jī)變量的

3、數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。只需要其數(shù)字特征，就可以確定高斯過程對高斯過程：廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價如果高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則他們是統(tǒng)計獨立的。高斯過程通過線性系統(tǒng)、其輸出也是高斯過程a=0，?=1一維高斯分布*a=+/-2，?=0.8/1.2一維高斯分布*一維高斯分布的數(shù)值計算在通信系統(tǒng)中，通常需要計算隨機(jī)變量X大于某常數(shù)的概率：無法直接計算出查Q數(shù)值計算表一維高斯分布的數(shù)值計算Q函數(shù)的意義?面積=Q（?）查Q函數(shù)表可以求出概率一維高斯分布的數(shù)值計算誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)X>2時互補誤差函數(shù)近似表示Q函數(shù)與誤差函數(shù)關(guān)系一維高斯

4、分布的數(shù)值計算例011->00->1誤碼率1錯成0的概率加0錯成1的概率，已知均值、方差，查Q表即可求出白噪聲信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即高斯白噪聲如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。由可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，是統(tǒng)計獨立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的

5、工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。2.3隨機(jī)信號分析2.3隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性時不變系統(tǒng)時線性時不變系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時不變系統(tǒng)時，關(guān)系仍然成立線性時不變系統(tǒng)？隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的數(shù)學(xué)期望輸入直流分量與直流增益的積隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的自相關(guān)函數(shù)輸出也是平穩(wěn)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度“功率”譜增益隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例:輸出過程的概率分布從原

6、理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過下式：總可以確定輸出過程的概率分布，其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例題：帶限白噪聲試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為：隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.3隨機(jī)信號分析2.3隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲窄帶隨機(jī)過程窄帶(帶通)信號(過

7、程)示意通信中信號與噪聲都滿足“窄帶”假設(shè)，即△f<

8、分量互不相關(guān)。高斯變量包絡(luò)和相位的統(tǒng)計