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1、預(yù)備知識(shí)(三)高斯隨機(jī)過程通信原理第四講隨機(jī)過程(噪聲信號(hào))示例相關(guān)函數(shù)R(t,t+?)利用隨機(jī)過程基礎(chǔ)解決通信中問題隨機(jī)過程ξ(t)(噪聲、信號(hào))數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計(jì)、觀測、計(jì)算如果平穩(wěn)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2R(?)如果各態(tài)歷經(jīng)用時(shí)間平均代替集平均通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件最終求出功率譜,從而獲得了頻率域上的功率分布,獲得其帶寬、功率性能,達(dá)到了研究通信系統(tǒng)的目的數(shù)字特征的計(jì)算數(shù)學(xué)期望方差相關(guān)函數(shù)2.3隨機(jī)信號(hào)分析2.3隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過程基
2、礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲隨機(jī)過程(噪聲信號(hào))示例為什么研究高斯過程中心極限定理表明:一個(gè)隨機(jī)變量,如果它是很多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和,而其中每一個(gè)對總和只發(fā)生不大的影響,那么,這一總和的分布就近似于正態(tài)分布。高斯過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程。如通信中的噪聲,分子熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱噪聲等都具有高斯過程的特性。高斯過程,是研究通信信號(hào)、特別是通信噪聲的重要數(shù)學(xué)模型。高斯隨機(jī)過程:定義若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維(n=1,2,…)分布都是正態(tài)分布,則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函
3、數(shù)表示如下:高斯隨機(jī)過程:重要性質(zhì)高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。只需要其數(shù)字特征,就可以確定高斯過程對高斯過程:廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價(jià)如果高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān),則他們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過程通過線性系統(tǒng)、其輸出也是高斯過程a=0,?=1一維高斯分布*a=+/-2,?=0.8/1.2一維高斯分布*一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算在通信系統(tǒng)中,通常需要計(jì)算隨機(jī)變量X大于某常數(shù)的概率:無法直接計(jì)算出查Q數(shù)值計(jì)算表一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算Q函數(shù)的意義?面積=Q(?)查Q函數(shù)表可
4、以求出概率一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)X>2時(shí)互補(bǔ)誤差函數(shù)近似表示Q函數(shù)與誤差函數(shù)關(guān)系一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算例011->00->1誤碼率1錯(cuò)成0的概率加0錯(cuò)成1的概率,已知均值、方差,查Q表即可求出白噪聲信號(hào)在信道中傳輸時(shí),常會(huì)遇到這樣一類噪聲,它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi),即這種噪聲被稱為白噪聲,它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù),單位是瓦/赫。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得,即高斯白噪聲如果白噪聲又是高斯分布的,我們就稱之為高斯白噪聲。由可以看出,高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上
5、的取值之間,是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出,我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是,如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶,我們就可以把它視為白噪聲。2.3隨機(jī)信號(hào)分析2.3隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)線性時(shí)不變系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí),關(guān)系仍然成立線性時(shí)不變系統(tǒng)?隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的數(shù)學(xué)期望輸入直流分量與直流增益的積隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的
6、自相關(guān)函數(shù)輸出也是平穩(wěn)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度“功率”譜增益隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例:輸出過程的概率分布從原理上看,在已知輸入過程分布的情況下,通過下式:總可以確定輸出過程的概率分布,其中一個(gè)十分有用的情形是:如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的,則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。但要注意,由于線性系統(tǒng)的介入,與輸入高斯過程相比,輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例題:帶限白噪聲試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密
7、度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為:隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.3隨機(jī)信號(hào)分析2.3隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲窄帶隨機(jī)過程窄帶(帶通)信號(hào)(過程)示意通信中信號(hào)與噪聲都滿足“窄帶”假設(shè),即△f<8、質(zhì)相關(guān)函數(shù)Rx是平穩(wěn)過程,與t無關(guān)窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)輸入為高斯過程時(shí)根據(jù)平穩(wěn)性,因此:I、Q分量也是高斯過程一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程,它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程,而且均值都為零,方差相同,在同一時(shí)刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。高斯變量包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)