數(shù)學(xué)老師的三項(xiàng)基本功

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1、數(shù)學(xué)教師的“三項(xiàng)基本功”鄭毓信（2012，4）簡(jiǎn)介1965年畢業(yè)于江蘇師范學(xué)院（現(xiàn)蘇州大學(xué)）數(shù)學(xué)系；曾在中學(xué)長(zhǎng)期任教；現(xiàn)為南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師。1992年起享受政府特殊津貼。主要研究領(lǐng)域：數(shù)學(xué)哲學(xué)；科學(xué)哲學(xué)；數(shù)學(xué)教育與科學(xué)教育。已出版著作28部，發(fā)表論文300多篇。背景課改十年的總結(jié)與反思：“立足專業(yè)成長(zhǎng)，關(guān)注基本問題?！保?010）進(jìn)一步的思考：一線教師如何實(shí)現(xiàn)自己的專業(yè)成長(zhǎng)？一個(gè)相關(guān)的問題數(shù)學(xué)教師是否應(yīng)當(dāng)具有自己特殊的基本功？數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功：（1）善于舉例；（2）善于提問；（3）善于比較與優(yōu)化。這方面的具體工作鄭毓信，“數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功”，《人民教育》，2008年第1

2、8、19、20期連載，并已被收入“《人民教育》創(chuàng)刊60周年系列叢書”。鄭毓信，《數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功》，江蘇教育出版社，2011必要的提醒面對(duì)任一新的主張或時(shí)髦潮流，我們都應(yīng)冷靜地思考：什么是這一主張或口號(hào)的主要內(nèi)涵？這一主張或口號(hào)能為我們提供什么新的啟示和教益，特別是，具有怎樣的現(xiàn)實(shí)意義？什么是其固有的局限性或可能的消極后果？基本認(rèn)識(shí)“三項(xiàng)基本功”集中反映了數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)（教育）的特殊性。“三項(xiàng)基本功”不應(yīng)被理解成單純的技能；恰恰相反，只有聯(lián)系深層次的教學(xué)思想和教育思想我們才能真正理解它們的內(nèi)涵和意義。我們并應(yīng)聯(lián)系自己的個(gè)性特征創(chuàng)造性地對(duì)此加以應(yīng)用。一、“善于舉例”與數(shù)學(xué)教學(xué)從“什么是數(shù)學(xué)

3、”談起？一個(gè)基本論點(diǎn)：“數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)”（mathematics：thescienceofpatterns）數(shù)學(xué)所反映的不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。進(jìn)一步的分析數(shù)學(xué)基本特性：抽象性?！吧朴谂e例”的兩個(gè)具體涵義：（1）如何能為抽象的數(shù)學(xué)概念舉出適當(dāng)?shù)膶?shí)例？（2）如何能夠幫助學(xué)生由具體實(shí)例抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念？學(xué)習(xí)心理學(xué)研究的相關(guān)結(jié)論“概念定義”與“概念意象”的必要區(qū)分。概念意象的多元性：它“由所有的相關(guān)實(shí)例、反例、事實(shí)和關(guān)系組成?！保ňS納與赫什科威茲，1980）（1）什么是“適當(dāng)?shù)睦印?？?biāo)準(zhǔn)之一：相對(duì)于學(xué)生的可接受性；標(biāo)準(zhǔn)之二：典型性，即是能為

4、相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象提供必要的基礎(chǔ)。這方面的一個(gè)基本事實(shí)：舉例并非一件易事。[例1]“范例教學(xué)法”（R.Davis)為了幫助學(xué)生掌握負(fù)數(shù)的概念，特別是有理數(shù)的運(yùn)算（如4-10=?），教師采用了一個(gè)裝有豆子的口袋，再在桌上擺上一些豆子。教師先在口袋中裝入4棵豆子，同時(shí)在黑板上記下“4”這樣一個(gè)數(shù)字；然后從口袋中拿出10棵豆子，這時(shí)黑板上就出現(xiàn)了“4-10”這樣一個(gè)算式。教師接著提問：（1）現(xiàn)在口袋里的豆子與一開始相比是變多還是變少了？（2）少了多少？…相關(guān)的分析這些實(shí)物和動(dòng)作對(duì)于學(xué)生來說都是十分熟悉的。好的“認(rèn)知基礎(chǔ)”并應(yīng)具有這樣的性質(zhì)：它能“自動(dòng)地”指明相關(guān)概念的基本性質(zhì)或相關(guān)的運(yùn)算法則。這就是指

5、，借助于這一實(shí)例學(xué)生可以順利地作出相應(yīng)的發(fā)現(xiàn)。如學(xué)生在此顯然就可借助所說的實(shí)例順利地實(shí)行4-10、5–8等運(yùn)算，而無須依賴于對(duì)相應(yīng)法則的機(jī)械記憶。[例2]“植樹問題”的教學(xué)我們應(yīng)當(dāng)如何看待“植樹問題”的教學(xué)：這一問題所發(fā)揮的究竟是案例的作用、還是應(yīng)當(dāng)集中于“三種情況”的區(qū)分以及相關(guān)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用？“模式的建構(gòu)”比“三種情況”的區(qū)分”更加重要，這也就是指，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注如何能以“植樹問題”為背景抽象出普遍的數(shù)學(xué)模式：“分隔問題”。（2）如何幫助學(xué)生由實(shí)例抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念？關(guān)鍵之一：去情境；一個(gè)辯證的關(guān)系：范例的作用與必要的抽象；相關(guān)理論：“變式理論”（“概念變式”）。核心思想：

6、如何通過適當(dāng)?shù)淖兓瘞椭鷮W(xué)生掌握相關(guān)概念的本質(zhì)?！案拍钭兪健钡闹饕獌?nèi)容：（1）“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式”：教學(xué)中不應(yīng)局限于平時(shí)經(jīng)常用到的一些實(shí)例，而應(yīng)有意識(shí)地引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，從而就可防止學(xué)生將相關(guān)實(shí)例的一些非本質(zhì)特性誤認(rèn)為概念的本質(zhì)特性。（2）“概念變式”與“非概念變式”：“非概念變式”大致地就相當(dāng)于“反例”，這也就是指，除去“正例”以外，我們?cè)诮虒W(xué)中還應(yīng)給出若干“反例”，這樣通過對(duì)照就可幫助學(xué)生更好掌握概念的本質(zhì)。[例]“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”引入：“分蛋糕”。教師并通過簡(jiǎn)短討論引出了這樣一個(gè)結(jié)論：“將一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2?！眴栴}：如何以“變式理論”（概念變式）為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)

7、從而幫助學(xué)生較好掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)？（1）分割的對(duì)象顯然未必一定要是蛋糕，也可以是紙片或別的什么東西；對(duì)于分割對(duì)象的外形我們也不應(yīng)作任何限制：它們既可以是圓形，也可是方形或任何其它形狀。（2）對(duì)分割方法也可作出一定變化。如就長(zhǎng)方形紙片的分割而言，可以橫著折，也可以豎著折，還可鈄著折；另外，除去各個(gè)“正例”以外，我們也應(yīng)引入一定的“反例”，如按照中位線分割的梯形等（3）作為進(jìn)一步的抽象，我們又應(yīng)由1/2逐步擴(kuò)展到1