等差等比數(shù)列的性質(zhì)

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1、等差、等比數(shù)列的判定與性質(zhì)（一）題組（一）等差等比數(shù)列的判定記住，不吃虧！題組（一）等差等比的判定記住，不吃虧！題組（一）等差等比的判定記住，不吃虧！1.命題①:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;命題②:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;命題③：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na-n,則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.上述三個(gè)命題中，真命題有()AA.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)訓(xùn)練（一）2.判斷是非：常數(shù)數(shù)列{an}是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件

2、.3.訓(xùn)練（2）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，證明{pan+qbn}是等差數(shù)列。（1）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，證明{a2n}也是等差數(shù)列.（3）若{an}是等差數(shù)列，證明：也成等差數(shù)列，（4）Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)列.片段和性質(zhì)的證明方法與結(jié)論應(yīng)用（6）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，判斷{an}（≠0），，{}，{an·bn}，是否為等比數(shù)列.（5）公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比數(shù)

3、列.片段和性質(zhì)的證明方法與結(jié)論應(yīng)用綜合訓(xùn)練一2.題型二等比數(shù)列的判定與證明【例2】（2008·湖北）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù),數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;（2）證明：當(dāng)≠-18時(shí)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.3.證明（1）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使{an}是等比數(shù)列,則有=a1a3,即9=0,矛盾.所以{an}不是等比數(shù)列.（2）bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n·(an-3n+2

4、1)=-bn.又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.`由上式知bn≠0,所以(n∈N*).故當(dāng)≠-18時(shí)，數(shù)列{bn}是以-(+18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.等差數(shù)列中等比數(shù)列中知識(shí)再現(xiàn)若m+n=p+q則若m+n=p+q則任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列等比數(shù)列中，（1）Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.（2）當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶=；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí),S奇=a1+qS偶.qS奇特別：關(guān)于等差數(shù)列中：①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇=，=.②若項(xiàng)數(shù)為2n-1，則S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(

5、4)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和Sn、Tn之間的關(guān)系為：=.ndnan特別：1.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，下列結(jié)論正確的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5綜合訓(xùn)練二設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前6項(xiàng)的和為36，最后6項(xiàng)的和為180(n>6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n。解：由題意知，∴①+②得：①②2.3.4.(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為；(2)等比數(shù)列的前

6、n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為.1860題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用5.在等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且=2,求a3.（1）由已知條件可得a1與公比q的方程組，解出a1、q，再利用通項(xiàng)公式即可得a3.∴=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得∴=4.∴a3=±2.由已知條件得【活頁(yè)】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1，則問(wèn)題1例4:在等比數(shù)列｛an｝中，已知求.解:則｛bn｝是公比為-2的等比數(shù)列。題組（三）練習(xí)（1）已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1等于？1.

7、等差數(shù)列｛｝的公差為，則————題組（四）2.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，求a3a6a9…a305.已知數(shù)列{an}、{bn}分別為等差、等比數(shù)列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，則一定有a2b2，a5b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列性質(zhì)知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2==>=

8、b2

9、，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.