初等數(shù)學(xué)研究論文

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1、姓名：蘇章燕學(xué)號(hào)：201102024002班級(jí)：師范1班分類(lèi)思想摘要：分類(lèi)討論的問(wèn)題在這學(xué)期做高考題和中考題過(guò)程中，很多題上面都有體現(xiàn)。是在問(wèn)題的解答出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無(wú)法深入時(shí)，我們往往把可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論，得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種思想方法就是分類(lèi)的思想。關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論、函數(shù)、例題、集合分類(lèi)一、分類(lèi)要素分類(lèi)的思想運(yùn)用到每個(gè)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有三個(gè)基本內(nèi)容，即分類(lèi)三要素，在分類(lèi)的合定義中，三要素就是全集，子集和子集的分類(lèi)根據(jù)。分類(lèi)的邏輯定義中，三要素是母項(xiàng)，子項(xiàng)和分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。二、分類(lèi)的規(guī)則在問(wèn)題討論前，首

2、先應(yīng)弄清楚我們所研究對(duì)象的范圍，即全集。分類(lèi)就要在這個(gè)特定范圍內(nèi)進(jìn)行，要防止在全集不明確的情況下或全集外進(jìn)行討論。每次分類(lèi)都必須以同一本質(zhì)屬性為標(biāo)準(zhǔn)，被分概念或集合有若干本質(zhì)屬性，確定某一個(gè)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。那么在分類(lèi)過(guò)程中就要始終使用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。同一次討論中標(biāo)準(zhǔn)只能是一個(gè)。如實(shí)數(shù)在討論絕對(duì)值時(shí)，可分為整數(shù)、負(fù)數(shù)和零；在討論其他性質(zhì)和運(yùn)算時(shí)可分為有理數(shù)與無(wú)理數(shù)。又如函數(shù)按自變量個(gè)數(shù)可分為一元函數(shù)、二元函數(shù)乃至多元函數(shù)；按單調(diào)性可分為增函數(shù)、減函數(shù)和非單調(diào)函數(shù)（在某一區(qū)間內(nèi)）；按定義域可分為在R上都有意義的函數(shù)與定義域不是R的函數(shù)；

3、按奇偶性可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)（在定義域內(nèi)）；按屬性可分為代數(shù)函數(shù)和超級(jí)函數(shù)。諸如此類(lèi)，按不同標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類(lèi)。分類(lèi)的完整性，把集合A分為A1、A2、···An等n個(gè)子集的分類(lèi)，集合A應(yīng)是這n個(gè)子集的并集，集合的每一個(gè)元素都屬于且僅屬于其中的一個(gè)子集，分類(lèi)時(shí)必須防止遺漏，如把角分為第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一個(gè)完整的分類(lèi)，因?yàn)榻K邊落在坐標(biāo)軸上的角就不在其中。分類(lèi)的互斥性，分類(lèi)中分成的各部分必須是互相排斥的，即分類(lèi)中各個(gè)子集的交集是空集，如平面幾何中把三角形分為銳角三角形、等腰三角形·

4、·····的分類(lèi)就是不正確的分類(lèi)，因?yàn)榇嬖谥妊J角三角形，這是由于破壞了分類(lèi)的互斥性。分類(lèi)的逐級(jí)性，被分概念必須分成與它最鄰近的概念。有些問(wèn)題必須要連續(xù)分類(lèi)，這就要求嚴(yán)格按層次逐級(jí)進(jìn)行劃分、討論。分類(lèi)的種類(lèi)，人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)有一個(gè)由現(xiàn)象到本質(zhì)逐步深化的無(wú)線過(guò)程，因此分類(lèi)也有一個(gè)從現(xiàn)象分類(lèi)到本質(zhì)這樣一個(gè)逐步深化的過(guò)程。現(xiàn)象分類(lèi)就是根據(jù)事物的外部標(biāo)志或外部聯(lián)系所進(jìn)行的分類(lèi)，這種分類(lèi)往往會(huì)把本質(zhì)上相同的事物分為不同的類(lèi)別，而把本質(zhì)上不相同的事物歸為同一類(lèi)別。如平面幾何中多邊形按邊數(shù)分類(lèi)就是一個(gè)現(xiàn)象分類(lèi)，因?yàn)橥苟嘧冃魏桶级噙呅渭词?/p>

5、邊數(shù)相同其性質(zhì)也大相徑庭，而正多邊形（不管它邊數(shù)多少）都具有很多共性，它們本質(zhì)上是相同的。本質(zhì)分類(lèi)就是根據(jù)事物的本質(zhì)特征或內(nèi)部聯(lián)系所進(jìn)行的分類(lèi)，本質(zhì)分類(lèi)能夠揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律，如含角的三角函數(shù)的絕對(duì)值，用零點(diǎn)分段法對(duì)角進(jìn)行的分類(lèi)就屬于本質(zhì)分類(lèi)。分類(lèi)方法的解題步驟，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，這就是要運(yùn)用辯證的邏輯思維，對(duì)具體事物作具體分析，從表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)的相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征，只有這樣才能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義的分類(lèi)。恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類(lèi)，在確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，遵守分類(lèi)的五條規(guī)則，對(duì)所討

6、論的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)，問(wèn)題能否順利討論的關(guān)鍵是對(duì)所討論對(duì)象進(jìn)行正確的分類(lèi)。-4-逐類(lèi)討論，根據(jù)分好的各類(lèi)情況，逐類(lèi)地加以研究，深入進(jìn)行討論，分門(mén)別類(lèi)逐一把問(wèn)題解決。歸納結(jié)論，對(duì)分類(lèi)討論的結(jié)果進(jìn)行綜合整理，歸納出問(wèn)題的最終結(jié)論。問(wèn)題分類(lèi)討論的結(jié)論有時(shí)可表述為統(tǒng)一的形式，有時(shí)則需分類(lèi)陳訴，從而使問(wèn)題得到完善解答。眾多的數(shù)學(xué)概念都對(duì)其中的量有各種要求和限制這是我們運(yùn)用分類(lèi)思想解決有關(guān)問(wèn)題首先要考慮的因素，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值定義為絕對(duì)值的概念本身就是分段表訴的，即用分類(lèi)的方法定義的，因此含代數(shù)式的絕對(duì)值問(wèn)題均可用分類(lèi)思想解決，含絕對(duì)值問(wèn)題的

7、分類(lèi)方法具體說(shuō)就是零點(diǎn)分段法：令絕對(duì)值（不管幾個(gè)）中含代數(shù)式其值為零，找出其（一個(gè)或多個(gè)）零點(diǎn)，用這些零點(diǎn)把實(shí)數(shù)分成若干個(gè)小區(qū)間，利用在每個(gè)小區(qū)間所有絕對(duì)值中代數(shù)式符號(hào)都具有保號(hào)性，就可以根據(jù)絕對(duì)值得定義和絕對(duì)值中代數(shù)式的保號(hào)性把絕對(duì)值符號(hào)脫去，從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問(wèn)題，使該問(wèn)題得到解決。一、例題1、解不等式分析：不等式含的絕對(duì)值中各代數(shù)式的零點(diǎn)分別為：-2、1、-1、3.因此可將實(shí)數(shù)分為這五個(gè)小區(qū)間，分別討論，分類(lèi)求解。解：（1）當(dāng)時(shí)，，，原不等式變?yōu)椋嚎紤]到大前提（2）當(dāng)時(shí)，，原不等式變?yōu)榭紤]到大前提無(wú)解。（3）當(dāng)時(shí)，

8、。原不等式變?yōu)闊o(wú)解。（4）當(dāng)時(shí)，，原不等式變?yōu)??？紤]到大前提。綜上，原不等式的解為。利用零點(diǎn)分段法脫去絕對(duì)值符號(hào)，要注意零點(diǎn)若有意義，千萬(wàn)不要漏掉。復(fù)數(shù)概念引起的分類(lèi)也是常常遇到的。復(fù)數(shù)（）的三角形式，它有四項(xiàng)要求：（1）;(2)實(shí)數(shù)與虛部即正余弦函數(shù)中的角必須相同；（3）前面實(shí)部必須是余