高階方程的降階技巧

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1、高階方程的降階技巧目錄一．高階方程的引入及定義………………………………………………………1二．幾類常見的可降階的高階微分方程…………………………………………2（一）型的微分方程………………………………………2（二）型的微分方程…………………………………………3（三）型的微分方程………………………………………4（四）二階方程的冪級(jí)數(shù)解………………………………………………………5三．其他情況的高階微分方程……………………………………………………7四．總結(jié)……………………………………………………………………………

2、12參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………12高階方程的降階技巧摘要:對(duì)于高階方程的解法問題，降階是普遍的求解方法，利用變換把高階方程的求解問題化為較低階的方程的求解問題。對(duì)于不同高階微分方程給出了相應(yīng)的降階方法。關(guān)鍵詞:線性微分方程，降階，非零特解一．高階方程的引入及定義所謂階,就是導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù).函數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，便組成了代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程解出未知函數(shù).同樣，如果知道自變量，未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程

3、，通過求解微分方程求出未知函數(shù)自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程.而高階微分方程,即階數(shù)大于二或者等于二的方程.一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題的基本原則是降階，利用變換把高階微分方程的求解問題化為較低階的方程來求解。因?yàn)橐话銇碚f，低階微分方程的求解會(huì)比求高階的微分方程方便些。特別地，對(duì)于二階（變系數(shù)）齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，則可利用降階法求得與它線性無關(guān)的另一個(gè)特解，從而得到方程的通解，對(duì)于非齊次線性微分方程，只需再運(yùn)

4、用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問題也就解決了。因此，問題的關(guān)鍵就在于尋找齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解。一些相關(guān)定義如果方程（1）的左端為y及的一次有理整式。則稱（1）為n階線性微分方程.不是線性方程的方程稱為非線性微分方程.如果函數(shù)代入方程（1）后,能使它變?yōu)楹愕仁?則稱函數(shù)為方程（1）的解.我們把含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為n階方程（1）的通解.所謂n階微分方程(1)的初值條件是指如下的n個(gè)條件:當(dāng)時(shí),這里是給定的n+1個(gè)常數(shù),初值條件有時(shí)寫為12求微分方程滿足定解條件的解.二．幾類常見的可降階的高階

5、微分方程二階微分方程的求解：(一)型的微分方程特點(diǎn):等式右端不含,僅是x的函數(shù).解法:將作為新的未知函數(shù),然后對(duì)原方程降階,令,則有，方程兩邊同時(shí)積分得即再積分得同理對(duì)于,令,積分得:則原方程變形為n-1階,對(duì)其繼續(xù)積分得則方程變?yōu)閚-2階,如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.例1解三階方程:解:：等式兩端同時(shí)積分再積分再積分12這就是所給方程的通解.(一)型的微分方程特點(diǎn):右端不含y.解法:降階.令代入原方程得:（2）若為如下一些一些類型,可分別求得（2）降階式的解.i.通解:ii.,通解

6、:(方法兩邊同時(shí)除以,將拿到中,即)iii.令,則,即求出u與x的關(guān)系,再將u代回,即得答案.iv.若,則令若,則令再令,已上求得的解為.回代,得變量可分離的一階方程,積分得12例2解:令，則,則方程變?yōu)?,因?yàn)?,則,因?yàn)?,所以所求特解為:.(一)型的微分方程特點(diǎn):右端不含x.解法:降階.令.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得:代入原方程得:這是一個(gè)關(guān)于y,p的一階方程,若以求得它的通解為:變量可分離的一階方程,積分得:即原方程得通解.例3求滿足的特解解:令，則,則方程變?yōu)?即12分離變量得:,等式兩端同時(shí)積分化簡(jiǎn)得

7、:,即,把時(shí),代入上式得，則方程化為,分離變量得:積分得:將代入解得,故原方程的特解為:(一)二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解對(duì)帶初值條件的二階齊次線性方程這里,否則可引進(jìn)新變量化為.有如下定理i.定理若方程中系數(shù)或能展成收斂區(qū)間為的冪級(jí)數(shù),則二階齊次線性方程有收斂區(qū)間為的冪級(jí)數(shù)特解或這里為待定常數(shù).ii．n階貝塞爾方程12(n為非負(fù)常數(shù)),有特解,.n階貝塞爾方程有通解,其中為任意常數(shù).(或)是由貝塞爾方程所定義的特殊函數(shù),成為n(或-n)階(第一類)貝塞爾函數(shù).的定義:當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)且非整數(shù).有性質(zhì):;對(duì)正整數(shù)n,有

8、一般情況(一)型的微分方程特點(diǎn):不顯含未知函數(shù)及.解法:令,則求得z,將連續(xù)積分k次,可得通解.(二)型的微分方程特點(diǎn):右端不顯含自變量x.解法:設(shè),則12,…………代入原方程得到新函數(shù)p(y)的n-1階方程,求得其解為:原方程通解為:(一)齊次方程特點(diǎn):解法:可通過變換將其降階,得新未知函數(shù).,,代入原方程并消去得新函數(shù)z(x)的n-1階方程例4求方程的通解.解:設(shè),代入原方程,得,解得其通解為,原方程得通解為