x02-5柯西中值定理與洛必達法則

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1、§2-5柯西中值定理與洛必達法則拉格朗日(Lagrange)中值定理.拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)滿足(1)f(x)在[a,b]上連續(xù);(2)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則在(a,b)內(nèi)至少有一點?,使等式f(b)?f(a)=f?(?)(b?a).(1)成立.xyAa0B?Cb若圖中的曲線弧AB由參數(shù)方程?表示,其中t為參數(shù),那末,曲線上點(x,y)處的切線的斜率為弦AB的斜率為xyAF(a)0BCF(b)所以1.柯西中值定理若函數(shù)f(x)及F(x)滿足:(1)f(x)及F(x)在[a,b]上連續(xù);(2

2、)f(x)及F(x)在(a,b)可導(dǎo);(3)F?(x)?0?x?(a,b).則在(a,b)內(nèi)至少存在一點?,使等式成立.注:當(dāng)F(x)=x時,F(b)?F(a)=b?a,F?(x)=1公式(5)為即f(b)?f(a)=f?(?)(b?a)證:?F(b)?F(a)=F?(?1)(b?a)?0(a

3、則洛必達第一法則證定義輔助函數(shù)洛必達第二法則例1:求解:61=例2解例3解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.例:求解:例解通過通分或分子有理化及其它初等變換轉(zhuǎn)化為或不定型。例:求解:法一)法二)解法一.=e0=1例1:求(00型)(0·?型)=0解法二:=e0=1例2:求(1?型)解法一:解法二:例3例4解例5解例:求(?0型)(0·?型)解:=0=e0=1所以使用洛必達法則需注意:1)檢查極限是不是末定型“0/0”或“∞/∞”3)法則不是萬能的例:求解:4)洛必達法則與其它求極限方法結(jié)合使

4、用,效果更好.方法包括:1。能分出的極限存在的因子應(yīng)及時分出;2。用等價無窮小代替簡化;3。用恒等變換簡化。常用八個等價無窮小:例-5)有時需用多次法則例:求=?=06)抽象函數(shù)也可用法則但要注意檢查是否符合條件例若函數(shù)f(x)在點a有導(dǎo)數(shù)f’(a)根據(jù)微分定義,則有證明:若函數(shù)在點a有二階導(dǎo)數(shù)f”(a)則有例設(shè)f(x)在x=x0處具有二階導(dǎo)數(shù),求極限解:解:=f”(x0)解:f(0-0)=f(0)=f(0+0)=因此,f(x)在x=0連續(xù)。小結(jié)洛必達法則

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