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1、第14講柯西中值定理與洛必達(dá)法則授課題目柯西中值定理與洛必達(dá)法則教學(xué)內(nèi)容1.柯西中值定理；2.洛必達(dá)法則．教學(xué)目的和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好地了解柯西中值定理，掌握用洛必達(dá)法則求各種不定式極限,掌握洛必達(dá)法則型定理的證明.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：洛必達(dá)法則求各種不定式極限；教學(xué)難點(diǎn)：洛必達(dá)法則定理的證明.教學(xué)方法及教材處理提示(1)???本講的重點(diǎn)是掌握用洛必達(dá)法則求各種不定式極限，特別強(qiáng)調(diào)洛必達(dá)法則在極限計(jì)算中的重要性，是計(jì)算極限的一種常用的有效方法.(2)采用講練結(jié)合的授課方式，通過舉例的形式，總結(jié)和歸納求各種不定式極限
2、的方法，使每一位學(xué)生都能掌握此法則．(3)本講的難點(diǎn)是洛必達(dá)法則定理的證明，特別是型的證明，但要求學(xué)生掌握洛必達(dá)法則型定理的證明．(4)了解柯西中值定理.作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材:2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）.講授內(nèi)容一、柯西中值定理定理6.5(柯西（cauchy）中值定理)設(shè)函數(shù)和滿足(i)在上都連續(xù)；(ii)在()上都可導(dǎo)；(iii)不同時(shí)為零；(iv)則存在使得證：作輔助函數(shù)易見在)上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得因?yàn)?否則由上式也為零)，所以得證.例1設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得
3、證：設(shè)，顯然它在上與一起滿足柯西中值定理?xiàng)l件，于是存在)，使得整理便得所要證明的等式．二、不定式極限現(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛必達(dá)(L’Hospital)法則．1．型不定式極限定理6.6若函數(shù)和滿足：(i)；(ii)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；(A可為實(shí)數(shù)，也可為或，則證：補(bǔ)充定義，使得與在點(diǎn)處連續(xù)．任取，在區(qū)間[](或[]上應(yīng)用柯西中值定理，有即(介于當(dāng)令時(shí),也有使得注意若將定理6.6中換成也可得到同樣的結(jié)論.例2求解：容易檢驗(yàn)與在點(diǎn)的鄰域內(nèi)滿足定理6．6的條件(i)和(ii)，又因故由洛必達(dá)法則
4、求得例3求解：利用～則得=例4求解：這是型不定式極限，可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則求解．但若作適當(dāng)變換，在計(jì)算上可方便些．為此，令，當(dāng)時(shí)有，于是有2．型不定式極限定理6.7若函數(shù)和g滿足：(i)ii）在某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且（iii）(A可為實(shí)數(shù)，也可為±)，則注：定理6.7對(duì)于?；虻惹樾我灿邢嗤慕Y(jié)論．例5求解：例6求解：注：不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則求解．首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法則的其他條件．，雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛必達(dá)法則：就會(huì)因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯(cuò)誤結(jié)論．3．其他類型不定
5、式極限不定式極限還有等類型．它們一般均可化為型或型的極限。例7求解：這是一個(gè)型不定式極限，例8求解：這是一個(gè)“”型不定式極限．作恒等變形其指數(shù)部分的極限是型不定式極限，可先求得從而得到。例9求（為常數(shù)）。解：這是一個(gè)型不定式極限，按上例變形的方法，先求型極限：然后得到。當(dāng)=0時(shí)上面所得的結(jié)果顯然成立．例10求。解這是一個(gè)型不定式極限．類似地先求其對(duì)數(shù)的極限(型)：于是有例11求解：這是一個(gè)型不定式極限，通分后化為型的極限，即例12設(shè)且已知，，試求解：因?yàn)樗杂陕灞剡_(dá)法則得注：(1)上例解法中，已知條件用在何處?(2)如果用兩次洛必達(dá)法
6、則，得到錯(cuò)在何處?例13求數(shù)列極限
