§7.5 可降階的高階微分方程

《§7.5 可降階的高階微分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、§7.5可降階的高階微分方程本節(jié)考慮n階微分方程中的如下的三種特殊類(lèi)型:y(n)=f(x)特點(diǎn)：特點(diǎn)：解法:例1解法:這是關(guān)于p的一階微分方程,若能求出降低了方程的階數(shù)例2求方程xy”+y’=1通解。解：y’=P(x)，xp’+p=1,-ln(1-p)=lnx+lnC1=>p=1-C1/x通解：y=x-C1lnx+C2例3解法:這是關(guān)于p的一階微分方程,若能求出降低了方程的階數(shù)解代入原方程得原方程通解為例1例2解代入方程，得故方程的通解為解代入原方程得原方程通解為例34)不顯含x,y，用不顯含y的方法簡(jiǎn)單。例

2、y”+(y’)2=0解：y’=P(x)，p=y’=1/(x+C1)y=ln(C1+x)+C2特點(diǎn)解法：類(lèi)似于全微分方程可降低一階再設(shè)法求解這個(gè)方程.附1)恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程解將方程寫(xiě)成積分后得通解注意:這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例3解將方程寫(xiě)成積分后得通解例15)湊導(dǎo)數(shù)法例2已知曲線,它的方程y=f(x)滿足微分方程并且與另一條曲線y=ex相切于點(diǎn)(0,1),求此曲線的方程.解∵曲線滿足初值問(wèn)題練習(xí):2.解代入方程，得故方程的通解為代入原方程,得解法：特點(diǎn)：P(x)的(n-k)階方程可得通解.1、更一般

3、的情況,如解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例1解代入原方程得原方程通解為例2