高斯曲率地計算公式

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1、實用文檔第二章曲面論高斯曲率的計算公式高斯曲率絕妙定理。注意，，。所以，文案大全實用文檔利用行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)和矩陣乘法性質(zhì)，得，（其中用到行列式按第三行展開計算的性質(zhì)。）文案大全實用文檔利用，，，可得，，，，，。由于；或者；文案大全實用文檔于是得到(1)公式被稱為高斯定理，且被譽為高斯絕妙定理。將上式中的行列式按第三列展開，并化簡，可得,(2)高斯絕妙定理斷言一個曲面的高斯曲率可以只用第一類基本量及其導(dǎo)數(shù)表示，從而事實上是曲面的一個內(nèi)蘊不變量。文案大全實用文檔高斯曲率用第一類基本量明確的表達(dá)式由Br

2、ioschi公式(1)給出。存在等距對應(yīng)的兩曲面，曲面上對應(yīng)點處的高斯曲率必相等。球面片與平面片之間不存在等距對應(yīng)。，。文案大全實用文檔特別地，當(dāng)曲面：上的坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)時，，此時,即得,(3)經(jīng)過觀察，通過湊微分，得到文案大全實用文檔，故有，(4)（驗算這個量的散度的動因，是在用測地曲率的劉維爾公式，推導(dǎo)高斯-波涅公式時，出現(xiàn)求散度的運算，導(dǎo)致兩者的表達(dá)方式是一致的。）。，文案大全實用文檔。如果曲面在參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下的第一基本形式為，則稱此坐標(biāo)網(wǎng)為等溫參數(shù)網(wǎng)。，，其中是關(guān)于變量的Laplace算子

3、.于是在曲面上取等溫參數(shù)網(wǎng)時，，文案大全實用文檔，其中.此時。例求第一基本形式為的曲面高斯曲率。解因為，所以。例求第一基本形式為的曲面上的高斯曲率。由（3）式，得。半測地坐標(biāo)網(wǎng)下，文案大全實用文檔高斯曲率的計算公式在類曲面：上選一條測地線為--曲線：；再取與正交的測地線族為--曲線，另取這測地線族的正交軌線為--曲線，則得一半測地坐標(biāo)網(wǎng)。對于這個半測地坐標(biāo)網(wǎng)而言，曲面的第一基本形式可以簡化為，其中滿足條件。在曲面上選取了半測地坐標(biāo)網(wǎng)后，曲面的高斯曲率有如下的計算公式。常高斯曲率的曲面文案大全實用文檔

4、現(xiàn)在設(shè)曲面的高斯曲率是常數(shù)，即常數(shù)，則得微分方程。根據(jù)初始條件：，我們可按以下不同情形求出這個微分方程的解。（1）正常數(shù)高斯曲率的曲面，，此時。根據(jù)初始條件，可得，于是，。實例：考慮球心在原點，半徑為的球面。文案大全實用文檔取赤道為最初給定的測地線，則所有經(jīng)線是與赤道正交的測地線，所有緯線是這測地線族的正交軌線，因此球面上的經(jīng)線和緯線構(gòu)成半測地坐標(biāo)網(wǎng)。設(shè)球面上點的經(jīng)度為，緯度為，則球面的參數(shù)表示是。，，，。在球面上重新選擇參數(shù)，命于是，文案大全實用文檔高斯曲率，因此得到，所以正常數(shù)高斯曲率的曲面的第

5、一基本形式與球面的相同。正常數(shù)高斯曲率的曲面與同高斯曲率的球面之間存在著保距變換。（2），從而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式與平面的相同。（3）負(fù)常數(shù)高斯曲率的曲面，，此時。根據(jù)初始條件，可得，文案大全實用文檔于是，。由此可知,具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面都可適當(dāng)選取參數(shù),使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距對應(yīng).由上述定理知道,具有常數(shù)高斯曲率的曲面(這種曲面稱為常曲率曲面)可按K>0;K=0;K<0分成三種類型.而屬于同一類型的曲面它們的內(nèi)在幾何是相同的.平面作為高斯曲率為零

6、的代表;球面作為高斯曲率為正常數(shù)的代表.換句話說,高斯曲率為零的曲面都可以與平面建立等距對應(yīng),高斯曲率為正常數(shù)的曲面都可以與球面建立等距對應(yīng).那么自然會問什么曲面可以作為高斯曲率為負(fù)常數(shù)的代表?文案大全實用文檔設(shè),我們可以在旋轉(zhuǎn)曲面中找出這個代表.設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的待定母線為平面中的曲線.把它繞z軸旋轉(zhuǎn)后形成了旋轉(zhuǎn)面，；代入旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率為為了使這個曲面的高斯曲率所以待定函數(shù)就必須滿足下列方程:，文案大全實用文檔將其改寫成，兩邊積分后得到取積分常數(shù),于是可解出，由此得出，，令，則，于是

7、。因此，以母線繞z-文案大全實用文檔軸旋轉(zhuǎn)后所得的旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率正好等于負(fù)常數(shù)。我們把母線(4.4)稱為曳物線.而把曳物線繞z-軸旋轉(zhuǎn)后所得的曲面稱為偽球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全確定.因此,若兩個曲面可建立等距對應(yīng),則對應(yīng)點的高斯曲率必相等.但反之則不然.【例１】證明:曲面，（正螺面），(旋轉(zhuǎn)曲面)在點與處的高斯曲率相等,但曲面S與不存在等距對應(yīng).【證明】容易算出正螺面與旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式分別為文案大全實用文檔，再利用正交網(wǎng)時高斯曲率的計算公式(即高斯方程)

8、經(jīng)過計算得出曲面S和的高斯曲率分別為，。因此取對應(yīng)點，便成立。但是曲面S與不存在等距對應(yīng).文案大全實用文檔我們用反證法.若曲面S與之間存在等距對應(yīng),它的對應(yīng)關(guān)系為則對應(yīng)點的高斯曲率必相等,所以得出，即，或；(1)若則或。因此對應(yīng)關(guān)系為這時的第一基本形式，因為是等距對應(yīng),故，比較得出文案大全實用文檔由其中第二式得出或,再由第一式或第三式得出或，這顯然不可能成立.因此這種情況不可能.(1)若，則。這顯然不可能成立.因此曲面S與之間不能存在等距對應(yīng).盡管在對應(yīng)點具有相同高斯