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1、3.4高斯曲率與平均曲率內(nèi)容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、第三基本形式、極小曲面、常高斯曲率曲面重點：高斯曲率與平均曲率的計算3.4高斯曲率與平均曲率-高斯曲率與平均曲率的概念曲面的兩個主曲率之積K=k1k2叫曲面的高斯曲率，兩個主曲率的平均值H=?(k1+k2)叫曲面的平均曲率．橢圓點即高斯曲率大于零的點，雙曲點即高斯曲率小于零的點，拋物點即高斯曲率等于零的點．3.4高斯曲率與平均曲率-旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面S:r=(ucosv,usinv,y(u))，這是一張由Oxz平面上的曲線z=y(x)繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面．
2、試求y使得S的高斯曲率K為常數(shù)．詳情z=y(x)zxy練習(xí)題1．計算球面r(u,v)=(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的高斯曲率和平均曲率．2．計算曲面r(u,v)=(acoshucosv,acoshusinv,bu)的高斯曲率和平均曲率，并證明當(dāng)a=b時平均曲率為零．3．計算正螺面r(u,v)=(aucosv,ausinv,bv)的高斯曲率和平均曲率．3.4高斯曲率與平均曲率-高斯映射設(shè)曲面S的參數(shù)表示為r=r(u,v),(u,v)∈G，它的單位法向量為n(u,v)．則曲面S的高斯映射g:S→S2是把
3、曲面S上的點r(u,v)對應(yīng)到單位球面S2上的點n(u,v)的映射．SS2n(u,v)n(u,v)g3.4高斯曲率與平均曲率-高斯映射高斯映射的參數(shù)表示為g0=g0(u,v)，其中g(shù)0(u,v)=g(r(u,v))=n(u,v).我們也把g0叫曲面S的高斯映射或球面表示．SS2n(u,v)n(u,v)grg0(u,v)3.4高斯曲率與平均曲率-高斯映射因為g0是從G到R3的一個映射，因此是一張參數(shù)曲面，但不一定是正則的．3.4高斯曲率與平均曲率-第三基本形式曲面的第三基本形式定義為III=dn?dn．將第三基本形式寫成III
4、=edu2+2fdudv+gdv2，則有e=nu?nu，f=nu?nv，g=nv?nv．定理.設(shè)有曲面S:r=r(u,v)，其平均曲率為H，高斯曲率為K，則有III–2HII+KI=0.看證明3.4高斯曲率與平均曲率-極小曲面平均曲率為零的曲面叫極小曲面．旋轉(zhuǎn)極小曲面是平面或者是懸鏈面（見下圖）．看證明3.4高斯曲率與平均曲率-懸鏈面例.懸鏈面（如下圖）是旋轉(zhuǎn)極小曲面．例.正螺面（如下圖）r=(aucosv,ausinv,bv)是極小曲面，但不是旋轉(zhuǎn)面．3.4高斯曲率與平均曲率-正螺面3.4高斯曲率與平均曲率-正螺面與懸鏈面
5、等距下面的動畫演示了從正螺面等距變成懸鏈面的過程：正螺面懸鏈面練習(xí)題1．證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點．2．求旋轉(zhuǎn)曲面z=f(r)的高斯曲率與平均曲率，這里r=(x2+y2)1/2．返回章首
